Algebra Beispiele

$x^{2} + y^{2} \leq 25$ $y < - | x | + 2$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$y^{2} \leq 25 - x^{2}$

Schritt 1.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{y^{2}} \leq \sqrt{25 - x^{2}}$

Schritt 1.3

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| y | \leq \sqrt{25 - x^{2}}$

Schritt 1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.2.1

Vereinfache $\sqrt{25 - x^{2}}$ .

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Schritt 1.3.2.1.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$| y | \leq \sqrt{5^{2} - x^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 5$ und $b = x$ .

$| y | \leq \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Schritt 1.4

Schreibe $| y | \leq \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 1.4.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$y \geq 0$

Schritt 1.4.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $y$ nicht negativ ist.

$y \leq \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Schritt 1.4.3

Bestimme den Definitionsbereich von $y \leq \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ und ermittle die Schnittmenge mit $y \geq 0$ .

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Schritt 1.4.3.1

Bestimme den Definitionsbereich von $y \leq \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ .

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Schritt 1.4.3.1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(5 + x) (5 - x) \geq 0$

Schritt 1.4.3.1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.4.3.1.2.1

Vereinfache $(5 + x) (5 - x)$ .

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Schritt 1.4.3.1.2.1.1

Multipliziere $(5 + x) (5 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.4.3.1.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (5 - x) + x (5 - x) \geq 0$

Schritt 1.4.3.1.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \cdot 5 + 5 (- x) + x (5 - x) \geq 0$

Schritt 1.4.3.1.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \cdot 5 + 5 (- x) + x \cdot 5 + x (- x) \geq 0$

Schritt 1.4.3.1.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.4.3.1.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.3.1.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$25 + 5 (- x) + x \cdot 5 + x (- x) \geq 0$

Schritt 1.4.3.1.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$25 - 5 x + x \cdot 5 + x (- x) \geq 0$

Schritt 1.4.3.1.2.1.2.1.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$25 - 5 x + 5 \cdot x + x (- x) \geq 0$

Schritt 1.4.3.1.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$25 - 5 x + 5 x - x \cdot x \geq 0$

Schritt 1.4.3.1.2.1.2.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.3.1.2.1.2.1.5.1

Bewege $x$ .

$25 - 5 x + 5 x - (x \cdot x) \geq 0$

Schritt 1.4.3.1.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$25 - 5 x + 5 x - x^{2} \geq 0$

Schritt 1.4.3.1.2.1.2.2

Addiere $- 5 x$ und $5 x$ .

$25 + 0 - x^{2} \geq 0$

Schritt 1.4.3.1.2.1.2.3

Addiere $25$ und $0$ .

$25 - x^{2} \geq 0$

Schritt 1.4.3.1.2.2

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x^{2} \geq - 25$

Schritt 1.4.3.1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} \geq - 25$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.4.3.1.2.3.1

Teile jeden Term in $- x^{2} \geq - 25$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 25}{- 1}$

Schritt 1.4.3.1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.3.1.2.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 25}{- 1}$

Schritt 1.4.3.1.2.3.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 25}{- 1}$

Schritt 1.4.3.1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.3.1.2.3.3.1

Dividiere $- 25$ durch $- 1$ .

$x^{2} \leq 25$

Schritt 1.4.3.1.2.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{25}$

Schritt 1.4.3.1.2.5

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 1.4.3.1.2.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.3.1.2.5.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq \sqrt{25}$

Schritt 1.4.3.1.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.3.1.2.5.2.1

Vereinfache $\sqrt{25}$ .

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Schritt 1.4.3.1.2.5.2.1.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$| x | \leq \sqrt{5^{2}}$

Schritt 1.4.3.1.2.5.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq | 5 |$

Schritt 1.4.3.1.2.5.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $5$ ist $5$ .

$| x | \leq 5$

Schritt 1.4.3.1.2.6

Schreibe $| x | \leq 5$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 1.4.3.1.2.6.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 1.4.3.1.2.6.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \leq 5$

Schritt 1.4.3.1.2.6.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 1.4.3.1.2.6.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \leq 5$

Schritt 1.4.3.1.2.6.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \leq 5 & x \geq 0 \\ - x \leq 5 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 1.4.3.1.2.7

Bestimme die Schnittmenge von $x \leq 5$ und $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 5$

Schritt 1.4.3.1.2.8

Löse $- x \leq 5$ , wenn $x < 0$ ergibt.

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Schritt 1.4.3.1.2.8.1

Teile jeden Ausdruck in $- x \leq 5$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.4.3.1.2.8.1.1

Teile jeden Term in $- x \leq 5$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{5}{- 1}$

Schritt 1.4.3.1.2.8.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.3.1.2.8.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \geq \frac{5}{- 1}$

Schritt 1.4.3.1.2.8.1.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{5}{- 1}$

Schritt 1.4.3.1.2.8.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.3.1.2.8.1.3.1

Dividiere $5$ durch $- 1$ .

$x \geq - 5$

Schritt 1.4.3.1.2.8.2

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq - 5$ und $x < 0$ .

$- 5 \leq x < 0$

Schritt 1.4.3.1.2.9

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- 5 \leq x \leq 5$

Schritt 1.4.3.1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $y$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[- 5, 5]$

Schritt 1.4.3.2

Bestimme die Schnittmenge von $y \geq 0$ und $[- 5, 5]$ .

$0 \leq y \leq 5$

Schritt 1.4.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$y < 0$

Schritt 1.4.5

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $y$ negativ ist.

$- y \leq \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Schritt 1.4.6

Bestimme den Definitionsbereich von $- y \leq \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ und ermittle die Schnittmenge mit $y < 0$ .

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Schritt 1.4.6.1

Bestimme den Definitionsbereich von $- y \leq \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ .

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Schritt 1.4.6.1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(5 + x) (5 - x) \geq 0$

Schritt 1.4.6.1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.4.6.1.2.1

Vereinfache $(5 + x) (5 - x)$ .

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Schritt 1.4.6.1.2.1.1

Multipliziere $(5 + x) (5 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.4.6.1.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (5 - x) + x (5 - x) \geq 0$

Schritt 1.4.6.1.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \cdot 5 + 5 (- x) + x (5 - x) \geq 0$

Schritt 1.4.6.1.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \cdot 5 + 5 (- x) + x \cdot 5 + x (- x) \geq 0$

Schritt 1.4.6.1.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.4.6.1.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.6.1.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$25 + 5 (- x) + x \cdot 5 + x (- x) \geq 0$

Schritt 1.4.6.1.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$25 - 5 x + x \cdot 5 + x (- x) \geq 0$

Schritt 1.4.6.1.2.1.2.1.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$25 - 5 x + 5 \cdot x + x (- x) \geq 0$

Schritt 1.4.6.1.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$25 - 5 x + 5 x - x \cdot x \geq 0$

Schritt 1.4.6.1.2.1.2.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.6.1.2.1.2.1.5.1

Bewege $x$ .

$25 - 5 x + 5 x - (x \cdot x) \geq 0$

Schritt 1.4.6.1.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$25 - 5 x + 5 x - x^{2} \geq 0$

Schritt 1.4.6.1.2.1.2.2

Addiere $- 5 x$ und $5 x$ .

$25 + 0 - x^{2} \geq 0$

Schritt 1.4.6.1.2.1.2.3

Addiere $25$ und $0$ .

$25 - x^{2} \geq 0$

Schritt 1.4.6.1.2.2

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x^{2} \geq - 25$

Schritt 1.4.6.1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} \geq - 25$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.4.6.1.2.3.1

Teile jeden Term in $- x^{2} \geq - 25$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 25}{- 1}$

Schritt 1.4.6.1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.6.1.2.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 25}{- 1}$

Schritt 1.4.6.1.2.3.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 25}{- 1}$

Schritt 1.4.6.1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.6.1.2.3.3.1

Dividiere $- 25$ durch $- 1$ .

$x^{2} \leq 25$

Schritt 1.4.6.1.2.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{25}$

Schritt 1.4.6.1.2.5

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 1.4.6.1.2.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.6.1.2.5.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq \sqrt{25}$

Schritt 1.4.6.1.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.6.1.2.5.2.1

Vereinfache $\sqrt{25}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.6.1.2.5.2.1.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$| x | \leq \sqrt{5^{2}}$

Schritt 1.4.6.1.2.5.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq | 5 |$

Schritt 1.4.6.1.2.5.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $5$ ist $5$ .

$| x | \leq 5$

Schritt 1.4.6.1.2.6

Schreibe $| x | \leq 5$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 1.4.6.1.2.6.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 1.4.6.1.2.6.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \leq 5$

Schritt 1.4.6.1.2.6.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 1.4.6.1.2.6.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \leq 5$

Schritt 1.4.6.1.2.6.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \leq 5 & x \geq 0 \\ - x \leq 5 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 1.4.6.1.2.7

Bestimme die Schnittmenge von $x \leq 5$ und $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 5$

Schritt 1.4.6.1.2.8

Löse $- x \leq 5$ , wenn $x < 0$ ergibt.

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Schritt 1.4.6.1.2.8.1

Teile jeden Ausdruck in $- x \leq 5$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.4.6.1.2.8.1.1

Teile jeden Term in $- x \leq 5$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{5}{- 1}$

Schritt 1.4.6.1.2.8.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.6.1.2.8.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \geq \frac{5}{- 1}$

Schritt 1.4.6.1.2.8.1.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{5}{- 1}$

Schritt 1.4.6.1.2.8.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.6.1.2.8.1.3.1

Dividiere $5$ durch $- 1$ .

$x \geq - 5$

Schritt 1.4.6.1.2.8.2

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq - 5$ und $x < 0$ .

$- 5 \leq x < 0$

Schritt 1.4.6.1.2.9

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- 5 \leq x \leq 5$

Schritt 1.4.6.1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $y$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[- 5, 5]$

Schritt 1.4.6.2

Bestimme die Schnittmenge von $y < 0$ und $[- 5, 5]$ .

$- 5 \leq y < 0$

Schritt 1.4.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} y \leq \sqrt{(5 + x) (5 - x)} & 0 \leq y \leq 5 \\ - y \leq \sqrt{(5 + x) (5 - x)} & - 5 \leq y < 0 \end{cases}$

Schritt 1.5

Bestimme die Schnittmenge von $y \leq \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ und $0 \leq y \leq 5$ .

$0 \leq y \leq N o (Min i m u m)$

Schritt 1.6

Löse $- y \leq \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ , wenn $- 5 \leq y < 0$ ergibt.

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Schritt 1.6.1

Teile jeden Ausdruck in $- y \leq \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.6.1.1

Teile jeden Term in $- y \leq \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- y}{- 1} \geq \frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{- 1}$

Schritt 1.6.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.6.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} \geq \frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{- 1}$

Schritt 1.6.1.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y \geq \frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{- 1}$

Schritt 1.6.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.6.1.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{- 1}$ .

$y \geq - 1 \cdot \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Schritt 1.6.1.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ als $- \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ um.

$y \geq - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Schritt 1.6.2

Bestimme die Schnittmenge von $y \geq - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ und $- 5 \leq y < 0$ .

Keine Lösung

Schritt 1.7

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$0 \leq y \leq i N o Min m^{2} u$

Schritt 2

Stelle $y < - | x | + 2$ graphisch dar.

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Schritt 2.1

Die Gleichung ist nicht linear, und folglich existiert keine konstante Steigung.

Nicht linear

Schritt 2.2

Zeichne eine gestrichelte Linie und schraffiere dann die Fläche unterhalb der Grenzlinie, da $y$ kleiner als $- | x | + 2$ ist.

$y < - | x | + 2$

Schritt 3

Stelle jeden Graphen im gleichen Koordinatensystem dar.

$x^{2} + y^{2} \leq 25$

$y < - | x | + 2$

Schritt 4