Algebra Beispiele

$3 \tan (3 x) = \sqrt{3}$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $3 \tan (3 x) = \sqrt{3}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $3 \tan (3 x) = \sqrt{3}$ durch $3$ .

$\frac{3 \tan (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \tan (3 x)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere $\tan (3 x)$ durch $1$ .

$\tan (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 2

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$3 x = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Der genau Wert von $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$3 x = \frac{π}{6}$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{π}{6}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{π}{6}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 4.3.2

Multipliziere $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{6}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 3}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$x = \frac{π}{18}$

Schritt 5

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$3 x = π + \frac{π}{6}$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Vereinfache.

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Schritt 6.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$3 x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Schritt 6.1.2

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Schritt 6.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Schritt 6.1.4

Addiere $π \cdot 6$ und $π$ .

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Schritt 6.1.4.1

Stelle $π$ und $6$ um.

$3 x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Schritt 6.1.4.2

Addiere $6 \cdot π$ und $π$ .

$3 x = \frac{7 \cdot π}{6}$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{7 \cdot π}{6}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{7 \cdot π}{6}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 \cdot π}{6}}{3}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 \cdot π}{6}}{3}$

Schritt 6.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{7 \cdot π}{6}}{3}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{7 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 6.2.3.2

Multipliziere $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 6.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{7 π}{6}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 3}$

Schritt 6.2.3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$x = \frac{7 π}{18}$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\tan (3 x)$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $3$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 3 |}$

Schritt 7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$\frac{π}{3}$

Schritt 8

Die Periode der Funktion $\tan (3 x)$ ist $\frac{π}{3}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{π}{3}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{18} + \frac{π n}{3}, \frac{7 π}{18} + \frac{π n}{3}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{18} + \frac{π n}{3}$ , für jede Ganzzahl $n$