Algebra Beispiele

$3 x = 1 + 2 \sqrt{x}$

Schritt 1

Da die Wurzel auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass sie sich auf der linken Seite der Gleichung befindet.

$1 + 2 \sqrt{x} = 3 x$

Schritt 2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sqrt{x} = 3 x - 1$

Schritt 3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = {(3 x - 1)}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 1)}^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 x^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 1)}^{2}$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 1)}^{2}$

Schritt 4.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 1)}^{2}$

Schritt 4.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 1)}^{2}$

Schritt 4.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 x^{1} = {(3 x - 1)}^{2}$

Schritt 4.2.1.4

Vereinfache.

$4 x = {(3 x - 1)}^{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache ${(3 x - 1)}^{2}$ .

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Schritt 4.3.1.1

Schreibe ${(3 x - 1)}^{2}$ als $(3 x - 1) (3 x - 1)$ um.

$4 x = (3 x - 1) (3 x - 1)$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere $(3 x - 1) (3 x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x = 3 x (3 x - 1) - 1 (3 x - 1)$

Schritt 4.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x - 1)$

Schritt 4.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1$

Schritt 4.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 x = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1$

Schritt 4.3.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$4 x = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1$

Schritt 4.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 x = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1$

Schritt 4.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$4 x = 9 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1$

Schritt 4.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$4 x = 9 x^{2} - 3 x - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1$

Schritt 4.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$4 x = 9 x^{2} - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 4.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$4 x = 9 x^{2} - 3 x - 3 x + 1$

Schritt 4.3.1.3.2

Subtrahiere $3 x$ von $- 3 x$ .

$4 x = 9 x^{2} - 6 x + 1$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$9 x^{2} - 6 x + 1 = 4 x$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 x^{2} - 6 x + 1 - 4 x = 0$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $4 x$ von $- 6 x$ .

$9 x^{2} - 10 x + 1 = 0$

Schritt 5.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 9 \cdot 1 = 9$ und deren Summe gleich $b = - 10$ ist.

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Schritt 5.3.1.1

Faktorisiere $- 10$ aus $- 10 x$ heraus.

$9 x^{2} - 10 x + 1 = 0$

Schritt 5.3.1.2

Schreibe $- 10$ um als $- 1$ plus $- 9$

$9 x^{2} + (- 1 - 9) x + 1 = 0$

Schritt 5.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$9 x^{2} - 1 x - 9 x + 1 = 0$

Schritt 5.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(9 x^{2} - 1 x) - 9 x + 1 = 0$

Schritt 5.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (9 x - 1) - (9 x - 1) = 0$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $9 x - 1$ .

$(9 x - 1) (x - 1) = 0$

Schritt 5.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$9 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 5.5

Setze $9 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.1

Setze $9 x - 1$ gleich $0$ .

$9 x - 1 = 0$

Schritt 5.5.2

Löse $9 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 x = 1$

Schritt 5.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $9 x = 1$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 x = 1$ durch $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9}$

Schritt 5.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 5.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9}$

Schritt 5.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{9}$

Schritt 5.6

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.6.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 5.6.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 5.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(9 x - 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{9}, 1$

Schritt 6

Schließe die Lösungen aus, die $3 x = 1 + 2 \sqrt{x}$ nicht erfüllen.

$x = 1$