Algebra Beispiele

$0 = x^{4} + 3 x^{2} - 4$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $x^{4} + 3 x^{2} - 4 = 0$ um.

$x^{4} + 3 x^{2} - 4 = 0$

Schritt 2

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} + 3 u - 4 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 3

Faktorisiere $u^{2} + 3 u - 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 4$ und deren Summe $3$ ist.

$- 1, 4$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 1) (u + 4) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 1 = 0$

$u + 4 = 0$

Schritt 5

Setze $u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $u - 1$ gleich $0$ .

$u - 1 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 1$

Schritt 6

Setze $u + 4$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $u + 4$ gleich $0$ .

$u + 4 = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 4$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 1) (u + 4) = 0$ wahr machen.

$u = 1, - 4$

Schritt 8

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = 1$

${(x^{2})}^{1} = - 4$

Schritt 9

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = 1$

Schritt 10

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 10.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 10.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 10.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 10.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 10.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 11

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = - 4$

Schritt 12

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = - 4$

Schritt 12.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Schritt 12.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Schritt 12.3.1

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Schritt 12.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Schritt 12.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Schritt 12.3.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Schritt 12.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 2$

Schritt 12.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 2 i$

Schritt 12.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 12.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2 i$

Schritt 12.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2 i$

Schritt 12.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2 i, - 2 i$

Schritt 13

Die Lösung von $x^{4} + 3 x^{2} - 4 = 0$ ist $x = 1, - 1, 2 i, - 2 i$ .

$x = 1, - 1, 2 i, - 2 i$

Schritt 14