Algebra Beispiele

$x^{6} - 2 x^{4} - 4 x^{2} + 8 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x^{6} - 2 x^{4}) - 4 x^{2} + 8 = 0$

Schritt 1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{4} (x^{2} - 2) - 4 (x^{2} - 2) = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x^{2} - 2$ .

$(x^{2} - 2) (x^{4} - 4) = 0$

Schritt 1.3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$(x^{2} - 2) ({(x^{2})}^{2} - 4) = 0$

Schritt 1.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(x^{2} - 2) ({(x^{2})}^{2} - 2^{2}) = 0$

Schritt 1.5

Faktorisiere.

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Schritt 1.5.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 2$ .

$(x^{2} - 2) ((x^{2} + 2) (x^{2} - 2)) = 0$

Schritt 1.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} - 2) (x^{2} + 2) (x^{2} - 2) = 0$

Schritt 1.6

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 1.6.1

Potenziere $x^{2} - 2$ mit $1$ .

$(x^{2} - 2) (x^{2} - 2) (x^{2} + 2) = 0$

Schritt 1.6.2

Potenziere $x^{2} - 2$ mit $1$ .

$(x^{2} - 2) (x^{2} - 2) (x^{2} + 2) = 0$

Schritt 1.6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(x^{2} - 2)}^{1 + 1} (x^{2} + 2) = 0$

Schritt 1.6.4

Addiere $1$ und $1$ .

${(x^{2} - 2)}^{2} (x^{2} + 2) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x^{2} - 2)}^{2} = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

Schritt 3

Setze ${(x^{2} - 2)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze ${(x^{2} - 2)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x^{2} - 2)}^{2} = 0$

Schritt 3.2

Löse ${(x^{2} - 2)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Setze $x^{2} - 2$ gleich $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Schritt 3.2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 2$

Schritt 3.2.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{2}$

Schritt 3.2.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.2.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{2}$

Schritt 3.2.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{2}$

Schritt 3.2.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 4

Setze $x^{2} + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x^{2} + 2$ gleich $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Schritt 4.2

Löse $x^{2} + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 2$

Schritt 4.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Schritt 4.2.3.1

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Schritt 4.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (2)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Schritt 4.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{2}$

Schritt 4.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{2}$

Schritt 4.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{2}$

Schritt 4.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(x^{2} - 2)}^{2} (x^{2} + 2) = 0$ wahr machen.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$