Algebra Beispiele

$\log_{3} (3 x + 3) - \log_{3} (x - 1) = 2$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{3 x + 3}{x - 1}) = 2$

Schritt 1.2

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 3$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\log_{3} (\frac{3 (x) + 3}{x - 1}) = 2$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\log_{3} (\frac{3 (x) + 3 (1)}{x - 1}) = 2$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (x) + 3 (1)$ heraus.

$\log_{3} (\frac{3 (x + 1)}{x - 1}) = 2$

Schritt 2

Schreibe $\log_{3} (\frac{3 (x + 1)}{x - 1}) = 2$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$3^{2} = \frac{3 (x + 1)}{x - 1}$

Schritt 3

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$3 (x + 1) = 3^{2} (x - 1)$

Schritt 4

Vereinfache $3^{2} (x - 1)$ .

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Schritt 4.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$3 (x + 1) = 9 (x - 1)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (x + 1) = 9 x + 9 \cdot - 1$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$3 (x + 1) = 9 x - 9$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $9 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 (x + 1) - 9 x = - 9$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x + 3 \cdot 1 - 9 x = - 9$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 x + 3 - 9 x = - 9$

Schritt 5.3

Subtrahiere $9 x$ von $3 x$ .

$- 6 x + 3 = - 9$

Schritt 6

Faktorisiere $3$ aus $- 6 x + 3$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6 x$ heraus.

$3 (- 2 x) + 3 = - 9$

Schritt 6.2

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$3 (- 2 x) + 3 (1) = - 9$

Schritt 6.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (- 2 x) + 3 (1)$ heraus.

$3 (- 2 x + 1) = - 9$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $3 (- 2 x + 1) = - 9$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $3 (- 2 x + 1) = - 9$ durch $3$ .

$\frac{3 (- 2 x + 1)}{3} = \frac{- 9}{3}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (- 2 x + 1)}{3} = \frac{- 9}{3}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $- 2 x + 1$ durch $1$ .

$- 2 x + 1 = \frac{- 9}{3}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Dividiere $- 9$ durch $3$ .

$- 2 x + 1 = - 3$

Schritt 8

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x = - 3 - 1$

Schritt 8.2

Subtrahiere $1$ von $- 3$ .

$- 2 x = - 4$

Schritt 9

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 4$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 4$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

Schritt 9.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 2}$

Schritt 9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.1

Dividiere $- 4$ durch $- 2$ .

$x = 2$