Algebra Beispiele

$\frac{2 + \sqrt{- 8}}{1 + i}$

Schritt 1

Ziehe die imaginäre Einheit $i$ heraus.

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Schritt 1.1

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$\frac{2 + \sqrt{- 1 (8)}}{1 + i}$

Schritt 1.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (8)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ um.

$\frac{2 + \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{1 + i}$

Schritt 1.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$\frac{2 + i \cdot \sqrt{8}}{1 + i}$

Schritt 2

Multipliziere den Zähler und den Nenner von $\frac{2 + i \cdot \sqrt{8}}{1 + 1 i}$ mit der Konjugierten von $1 + 1 i$ , um den Nenner reell zu machen.

$\frac{2 + i \cdot \sqrt{8}}{1 + 1 i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i}$

Schritt 3

Multipliziere.

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Schritt 3.1

Kombinieren.

$\frac{(2 + i \cdot \sqrt{8}) (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.2.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{(2 + i \cdot \sqrt{4 (2)}) (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Schritt 3.2.1.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{(2 + i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}) (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Schritt 3.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{(2 + i \cdot (2 \sqrt{2})) (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Schritt 3.2.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$\frac{(2 + 2 i \sqrt{2}) (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Schritt 3.2.2

Multipliziere $(2 + 2 i \sqrt{2}) (1 - i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (1 - i) + 2 i \sqrt{2} (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Schritt 3.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- i) + 2 i \sqrt{2} (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Schritt 3.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- i) + 2 i \sqrt{2} \cdot 1 + 2 i \sqrt{2} (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 + 2 (- i) + 2 i \sqrt{2} \cdot 1 + 2 i \sqrt{2} (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Schritt 3.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 - 2 i + 2 i \sqrt{2} \cdot 1 + 2 i \sqrt{2} (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Schritt 3.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 - 2 i + 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Schritt 3.2.3.4

Multipliziere $2 i \sqrt{2} (- i)$ .

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Schritt 3.2.3.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 - 2 i + 2 i \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2} i}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Schritt 3.2.3.4.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{2 - 2 i + 2 i \sqrt{2} - 2 (i^{1} i) \sqrt{2}}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Schritt 3.2.3.4.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{2 - 2 i + 2 i \sqrt{2} - 2 (i^{1} i^{1}) \sqrt{2}}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Schritt 3.2.3.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 - 2 i + 2 i \sqrt{2} - 2 i^{1 + 1} \sqrt{2}}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Schritt 3.2.3.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 - 2 i + 2 i \sqrt{2} - 2 i^{2} \sqrt{2}}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Schritt 3.2.3.5

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{2 - 2 i + 2 i \sqrt{2} - 2 \cdot - 1 \sqrt{2}}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Schritt 3.2.3.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 - 2 i + 2 i \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Schritt 3.2.4

Stelle $2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}$ und $2 \sqrt{2}$ um.

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere $(1 + 1 i) (1 - i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 (1 - i) + 1 i (1 - i)}$

Schritt 3.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i (1 - i)}$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1 i + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Schritt 3.3.2.3

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1 i + 1 i + 1 i (- i)}$

Schritt 3.3.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1 i + 1 i - i i}$

Schritt 3.3.2.5

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i)}$

Schritt 3.3.2.6

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i^{1})}$

Schritt 3.3.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1 i + 1 i - i^{1 + 1}}$

Schritt 3.3.2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1 i + 1 i - i^{2}}$

Schritt 3.3.2.9

Addiere $- 1 i$ und $1 i$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 + 0 - i^{2}}$

Schritt 3.3.2.10

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - i^{2}}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - - 1}$

Schritt 3.3.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 + 1}$

Schritt 3.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}$ und $2$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{2}) + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2 i$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1 + 2 (- i) + 2 i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (1) + 2 (- i)$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{2}) + 2 (1 - i) + 2 i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.5

Faktorisiere $2$ aus $2 i \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{2}) + 2 (1 - i) + 2 (i \sqrt{2})}{2}$

Schritt 4.6

Faktorisiere $2$ aus $2 (1 - i) + 2 (i \sqrt{2})$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{2}) + 2 (1 - i + i \sqrt{2})}{2}$

Schritt 4.7

Faktorisiere $2$ aus $2 (\sqrt{2}) + 2 (1 - i + i \sqrt{2})$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{2} + 1 - i + i \sqrt{2})}{2}$

Schritt 4.8

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.8.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{2} + 1 - i + i \sqrt{2})}{2 (1)}$

Schritt 4.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (\sqrt{2} + 1 - i + i \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.8.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{2} + 1 - i + i \sqrt{2}}{1}$

Schritt 4.8.4

Dividiere $\sqrt{2} + 1 - i + i \sqrt{2}$ durch $1$ .

$\sqrt{2} + 1 - i + i \sqrt{2}$