Algebra Beispiele

$y = 2 \sqrt[3]{x - 5}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = 2 \sqrt[3]{y - 5}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $2 \sqrt[3]{y - 5} = x$ um.

$2 \sqrt[3]{y - 5} = x$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \sqrt[3]{y - 5} = x$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sqrt[3]{y - 5} = x$ durch $2$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{y - 5}}{2} = \frac{x}{2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt[3]{y - 5}}{2} = \frac{x}{2}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $\sqrt[3]{y - 5}$ durch $1$ .

$\sqrt[3]{y - 5} = \frac{x}{2}$

Schritt 2.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{y - 5}}^{3} = {(\frac{x}{2})}^{3}$

Schritt 2.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{y - 5}$ als ${(y - 5)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(y - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{x}{2})}^{3}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache ${({(y - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{2})}^{3}$

Schritt 2.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y - 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{2})}^{3}$

Schritt 2.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y - 5)}^{1} = {(\frac{x}{2})}^{3}$

Schritt 2.4.2.1.2

Vereinfache.

$y - 5 = {(\frac{x}{2})}^{3}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Vereinfache ${(\frac{x}{2})}^{3}$ .

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Schritt 2.4.3.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{2}$ an.

$y - 5 = \frac{x^{3}}{2^{3}}$

Schritt 2.4.3.1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$y - 5 = \frac{x^{3}}{8}$

Schritt 2.5

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{x^{3}}{8} + 5$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8} + 5$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8} + 5$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 2 \sqrt[3]{x - 5}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x - 5})}^{3}}{8} + 5$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1.1

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt[3]{x - 5}$ an.

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = \frac{2^{3} {\sqrt[3]{x - 5}}^{3}}{8} + 5$

Schritt 4.2.3.1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = \frac{8 {\sqrt[3]{x - 5}}^{3}}{8} + 5$

Schritt 4.2.3.1.3

Schreibe ${\sqrt[3]{x - 5}}^{3}$ als $x - 5$ um.

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Schritt 4.2.3.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x - 5}$ als ${(x - 5)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = \frac{8 {({(x - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{8} + 5$

Schritt 4.2.3.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = \frac{8 {(x - 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{8} + 5$

Schritt 4.2.3.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = \frac{8 {(x - 5)}^{\frac{3}{3}}}{8} + 5$

Schritt 4.2.3.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.3.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = \frac{8 {(x - 5)}^{\frac{3}{3}}}{8} + 5$

Schritt 4.2.3.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = \frac{8 (x - 5)}{8} + 5$

Schritt 4.2.3.1.3.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = \frac{8 (x - 5)}{8} + 5$

Schritt 4.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 4.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = \frac{8 (x - 5)}{8} + 5$

Schritt 4.2.3.2.2

Dividiere $x - 5$ durch $1$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = x - 5 + 5$

Schritt 4.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 5 + 5$ .

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Schritt 4.2.4.1

Addiere $- 5$ und $5$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = x + 0$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt[3]{x - 5}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{x^{3}}{8} + 5)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} + 5) = 2 \sqrt[3]{(\frac{x^{3}}{8} + 5) - 5}$

Schritt 4.3.3

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} + 5) = 2 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{8} + 0}$

Schritt 4.3.4

Addiere $\frac{x^{3}}{8}$ und $0$ .

$f (\frac{x^{3}}{8} + 5) = 2 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{8}}$

Schritt 4.3.5

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$f (\frac{x^{3}}{8} + 5) = 2 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{2^{3}}}$

Schritt 4.3.6

Schreibe $\frac{x^{3}}{2^{3}}$ als ${(\frac{x}{2})}^{3}$ um.

$f (\frac{x^{3}}{8} + 5) = 2 \sqrt[3]{{(\frac{x}{2})}^{3}}$

Schritt 4.3.7

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f (\frac{x^{3}}{8} + 5) = 2 (\frac{x}{2})$

Schritt 4.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{3}}{8} + 5) = 2 (\frac{x}{2})$

Schritt 4.3.8.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{3}}{8} + 5) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8} + 5$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 2 \sqrt[3]{x - 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8} + 5$