Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} y + x y^{2} + y^{3}}{\frac{x^{2}}{y} - \frac{y^{2}}{x}}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $y x$ .

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{x^{2} y + x y^{2} + y^{3}}{\frac{x^{2}}{y} - \frac{y^{2}}{x}}$ mit $\frac{y x}{y x}$ .

$\frac{y x}{y x} \cdot \frac{x^{2} y + x y^{2} + y^{3}}{\frac{x^{2}}{y} - \frac{y^{2}}{x}}$

Schritt 1.2

Kombinieren.

$\frac{y x (x^{2} y + x y^{2} + y^{3})}{y x (\frac{x^{2}}{y} - \frac{y^{2}}{x})}$

Schritt 2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y x (x^{2} y) + y x (x y^{2}) + y x y^{3}}{y x \frac{x^{2}}{y} + y x (- \frac{y^{2}}{x})}$

Schritt 3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $y$ aus $y x$ heraus.

$\frac{y x (x^{2} y) + y x (x y^{2}) + y x y^{3}}{y (x) \frac{x^{2}}{y} + y x (- \frac{y^{2}}{x})}$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y x (x^{2} y) + y x (x y^{2}) + y x y^{3}}{y x \frac{x^{2}}{y} + y x (- \frac{y^{2}}{x})}$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y x (x^{2} y) + y x (x y^{2}) + y x y^{3}}{x \cdot x^{2} + y x (- \frac{y^{2}}{x})}$

Schritt 3.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{y x (x^{2} y) + y x (x y^{2}) + y x y^{3}}{x^{1} x^{2} + y x (- \frac{y^{2}}{x})}$

Schritt 3.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y x (x^{2} y) + y x (x y^{2}) + y x y^{3}}{x^{1 + 2} + y x (- \frac{y^{2}}{x})}$

Schritt 3.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{y x (x^{2} y) + y x (x y^{2}) + y x y^{3}}{x^{3} + y x (- \frac{y^{2}}{x})}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y^{2}}{x}$ in den Zähler.

$\frac{y x (x^{2} y) + y x (x y^{2}) + y x y^{3}}{x^{3} + y x \frac{- y^{2}}{x}}$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $x$ aus $y x$ heraus.

$\frac{y x (x^{2} y) + y x (x y^{2}) + y x y^{3}}{x^{3} + x y \frac{- y^{2}}{x}}$

Schritt 3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y x (x^{2} y) + y x (x y^{2}) + y x y^{3}}{x^{3} + x y \frac{- y^{2}}{x}}$

Schritt 3.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y x (x^{2} y) + y x (x y^{2}) + y x y^{3}}{x^{3} + y (- y^{2})}$

Schritt 3.4

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y x (x^{2} y) + y x (x y^{2}) + y x y^{3}}{x^{3} - (y^{1} y^{2})}$

Schritt 3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y x (x^{2} y) + y x (x y^{2}) + y x y^{3}}{x^{3} - y^{1 + 2}}$

Schritt 3.6

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{y x (x^{2} y) + y x (x y^{2}) + y x y^{3}}{x^{3} - y^{3}}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.1

Bewege $y$ .

$\frac{y \cdot y x \cdot x^{2} + y x (x y^{2}) + y x y^{3}}{x^{3} - y^{3}}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{y^{2} x \cdot x^{2} + y x (x y^{2}) + y x y^{3}}{x^{3} - y^{3}}$

Schritt 4.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{y^{2} (x^{2} x) + y x (x y^{2}) + y x y^{3}}{x^{3} - y^{3}}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{y^{2} (x^{2} x^{1}) + y x (x y^{2}) + y x y^{3}}{x^{3} - y^{3}}$

Schritt 4.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y^{2} x^{2 + 1} + y x (x y^{2}) + y x y^{3}}{x^{3} - y^{3}}$

Schritt 4.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{y^{2} x^{3} + y x (x y^{2}) + y x y^{3}}{x^{3} - y^{3}}$

Schritt 4.3

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.1

Bewege $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} x^{3} + y^{2} y x \cdot x + y x y^{3}}{x^{3} - y^{3}}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 4.3.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y^{2} x^{3} + y^{2} y^{1} x \cdot x + y x y^{3}}{x^{3} - y^{3}}$

Schritt 4.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y^{2} x^{3} + y^{2 + 1} x \cdot x + y x y^{3}}{x^{3} - y^{3}}$

Schritt 4.3.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{y^{2} x^{3} + y^{3} x \cdot x + y x y^{3}}{x^{3} - y^{3}}$

Schritt 4.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{y^{2} x^{3} + y^{3} (x \cdot x) + y x y^{3}}{x^{3} - y^{3}}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{y^{2} x^{3} + y^{3} x^{2} + y x y^{3}}{x^{3} - y^{3}}$

Schritt 4.5

Multipliziere $y$ mit $y^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.5.1

Bewege $y^{3}$ .

$\frac{y^{2} x^{3} + y^{3} x^{2} + y^{3} y x}{x^{3} - y^{3}}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $y^{3}$ mit $y$ .

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Schritt 4.5.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y^{2} x^{3} + y^{3} x^{2} + y^{3} y^{1} x}{x^{3} - y^{3}}$

Schritt 4.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y^{2} x^{3} + y^{3} x^{2} + y^{3 + 1} x}{x^{3} - y^{3}}$

Schritt 4.5.3

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{y^{2} x^{3} + y^{3} x^{2} + y^{4} x}{x^{3} - y^{3}}$

Schritt 4.6

Faktorisiere $y^{2} x$ aus $y^{2} x^{3} + y^{3} x^{2} + y^{4} x$ heraus.

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Schritt 4.6.1

Faktorisiere $y^{2} x$ aus $y^{2} x^{3}$ heraus.

$\frac{y^{2} x (x^{2}) + y^{3} x^{2} + y^{4} x}{x^{3} - y^{3}}$

Schritt 4.6.2

Faktorisiere $y^{2} x$ aus $y^{3} x^{2}$ heraus.

$\frac{y^{2} x (x^{2}) + y^{2} x (y x) + y^{4} x}{x^{3} - y^{3}}$

Schritt 4.6.3

Faktorisiere $y^{2} x$ aus $y^{4} x$ heraus.

$\frac{y^{2} x (x^{2}) + y^{2} x (y x) + y^{2} x (y^{2})}{x^{3} - y^{3}}$

Schritt 4.6.4

Faktorisiere $y^{2} x$ aus $y^{2} x (x^{2}) + y^{2} x (y x)$ heraus.

$\frac{y^{2} x (x^{2} + y x) + y^{2} x (y^{2})}{x^{3} - y^{3}}$

Schritt 4.6.5

Faktorisiere $y^{2} x$ aus $y^{2} x (x^{2} + y x) + y^{2} x (y^{2})$ heraus.

$\frac{y^{2} x (x^{2} + y x + y^{2})}{x^{3} - y^{3}}$

Schritt 5

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = y$ .

$\frac{y^{2} x (x^{2} + y x + y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1

Stelle die Terme um.

$\frac{x y^{2} (x^{2} + x y + y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + x y + y^{2}$ .

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y^{2} (x^{2} + x y + y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Schritt 6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x y^{2}}{x - y}$