Algebra Beispiele

$\frac{3 x + 8}{x - 4} \geq 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$3 x + 8 = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 8$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 8$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 8$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 8}{3}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 8}{3}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 8}{3}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{8}{3}$

Schritt 4

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 5

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = - \frac{8}{3}$

$x = 4$

Schritt 6

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - \frac{8}{3}, 4$

Schritt 7

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{3 x + 8}{x - 4}$ .

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Schritt 7.1

Setze den Nenner in $\frac{3 x + 8}{x - 4}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 4 = 0$

Schritt 7.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 7.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Schritt 8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{8}{3}$

$- \frac{8}{3} < x < 4$

$x > 4$

Schritt 9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{8}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{8}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 5$

Schritt 9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 (- 5) + 8}{(- 5) - 4} \geq 0$

Schritt 9.1.3

Die linke Seite $0.\overline{7}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 9.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{8}{3} < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{8}{3} < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 9.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 (0) + 8}{(0) - 4} \geq 0$

Schritt 9.2.3

Die linke Seite $- 2$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 9.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 (6) + 8}{(6) - 4} \geq 0$

Schritt 9.3.3

Die linke Seite $13$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{8}{3}$ Wahr

$- \frac{8}{3} < x < 4$ Falsch

$x > 4$ Wahr

$x < - \frac{8}{3}$ Wahr

$- \frac{8}{3} < x < 4$ Falsch

$x > 4$ Wahr

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - \frac{8}{3}$ oder $x > 4$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x \leq - \frac{8}{3} or x > 4$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \frac{8}{3}] \cup (4, \infty)$

Schritt 12