Algebra Beispiele

$R = \sqrt{{(F x)}^{2} + {(F y)}^{2}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{{(F x)}^{2} + {(F y)}^{2}} = R$ um.

$\sqrt{{(F x)}^{2} + {(F y)}^{2}} = R$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{{(F x)}^{2} + {(F y)}^{2}}}^{2} = R^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{{(F x)}^{2} + {(F y)}^{2}}$ als ${({(F x)}^{2} + {(F y)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({({(F x)}^{2} + {(F y)}^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = R^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({({(F x)}^{2} + {(F y)}^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({({(F x)}^{2} + {(F y)}^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${({(F x)}^{2} + {(F y)}^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = R^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${({(F x)}^{2} + {(F y)}^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = R^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${({(F x)}^{2} + {(F y)}^{2})}^{1} = R^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.2.1

Wende die Produktregel auf $F x$ an.

${(F^{2} x^{2} + {(F y)}^{2})}^{1} = R^{2}$

Schritt 3.2.1.2.2

Wende die Produktregel auf $F y$ an.

${(F^{2} x^{2} + F^{2} y^{2})}^{1} = R^{2}$

Schritt 3.2.1.3

Vereinfache.

$F^{2} x^{2} + F^{2} y^{2} = R^{2}$

Schritt 4

Löse nach $F$ auf.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $F^{2}$ aus $F^{2} x^{2} + F^{2} y^{2}$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $F^{2}$ aus $F^{2} x^{2}$ heraus.

$F^{2} (x^{2}) + F^{2} y^{2} = R^{2}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $F^{2}$ aus $F^{2} y^{2}$ heraus.

$F^{2} (x^{2}) + F^{2} (y^{2}) = R^{2}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $F^{2}$ aus $F^{2} (x^{2}) + F^{2} (y^{2})$ heraus.

$F^{2} (x^{2} + y^{2}) = R^{2}$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $F^{2} (x^{2} + y^{2}) = R^{2}$ durch $x^{2} + y^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $F^{2} (x^{2} + y^{2}) = R^{2}$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{F^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = \frac{R^{2}}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{F^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = \frac{R^{2}}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $F^{2}$ durch $1$ .

$F^{2} = \frac{R^{2}}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 4.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$F = \pm \sqrt{\frac{R^{2}}{x^{2} + y^{2}}}$

Schritt 4.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{R^{2}}{x^{2} + y^{2}}}$ .

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Schritt 4.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{R^{2}}{x^{2} + y^{2}}}$ als $\frac{\sqrt{R^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ um.

$F = \pm \frac{\sqrt{R^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$

Schritt 4.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$F = \pm \frac{R}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$

Schritt 4.4.3

Mutltipliziere $\frac{R}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ .

$F = \pm \frac{R}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$

Schritt 4.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{R}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ .

$F = \pm \frac{R \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} \sqrt{x^{2} + y^{2}}}$

Schritt 4.4.4.2

Potenziere $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ mit $1$ .

$F = \pm \frac{R \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} \sqrt{x^{2} + y^{2}}}$

Schritt 4.4.4.3

Potenziere $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ mit $1$ .

$F = \pm \frac{R \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} {\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1}}$

Schritt 4.4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$F = \pm \frac{R \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$F = \pm \frac{R \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}}$

Schritt 4.4.4.6

Schreibe ${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}$ als $x^{2} + y^{2}$ um.

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Schritt 4.4.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ als ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$F = \pm \frac{R \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$F = \pm \frac{R \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.4.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$F = \pm \frac{R \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$F = \pm \frac{R \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$F = \pm \frac{R \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{1}}$

Schritt 4.4.4.6.5

Vereinfache.

$F = \pm \frac{R \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$F = \frac{R \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 4.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$F = - \frac{R \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 4.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$F = \frac{R \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}}$

$F = - \frac{R \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}}$

$F = \frac{R \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}}$

$F = - \frac{R \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}}$

$F = \frac{R \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}}$

$F = - \frac{R \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}}$