Algebra Beispiele

$\frac{6 x^{3} + 12 x^{2} - 210 x}{x^{2} - 49} \cdot \frac{6 x}{2 x^{3} - 50 x} \div \frac{x + 7}{x^{2} - 49}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{6 x^{3} + 12 x^{2} - 210 x}{x^{2} - 49} \cdot \frac{6 x}{2 x^{3} - 50 x} \frac{x^{2} - 49}{x + 7}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x^{3} + 12 x^{2} - 210 x$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x^{3}$ heraus.

$\frac{6 x (x^{2}) + 12 x^{2} - 210 x}{x^{2} - 49} \cdot \frac{6 x}{2 x^{3} - 50 x} \frac{x^{2} - 49}{x + 7}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $6 x$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$\frac{6 x (x^{2}) + 6 x (2 x) - 210 x}{x^{2} - 49} \cdot \frac{6 x}{2 x^{3} - 50 x} \frac{x^{2} - 49}{x + 7}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $6 x$ aus $- 210 x$ heraus.

$\frac{6 x (x^{2}) + 6 x (2 x) + 6 x (- 35)}{x^{2} - 49} \cdot \frac{6 x}{2 x^{3} - 50 x} \frac{x^{2} - 49}{x + 7}$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x (x^{2}) + 6 x (2 x)$ heraus.

$\frac{6 x (x^{2} + 2 x) + 6 x (- 35)}{x^{2} - 49} \cdot \frac{6 x}{2 x^{3} - 50 x} \frac{x^{2} - 49}{x + 7}$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x (x^{2} + 2 x) + 6 x (- 35)$ heraus.

$\frac{6 x (x^{2} + 2 x - 35)}{x^{2} - 49} \cdot \frac{6 x}{2 x^{3} - 50 x} \frac{x^{2} - 49}{x + 7}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x^{2} + 2 x - 35$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 35$ und deren Summe $2$ ist.

$- 5, 7$

Schritt 2.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{6 x ((x - 5) (x + 7))}{x^{2} - 49} \cdot \frac{6 x}{2 x^{3} - 50 x} \frac{x^{2} - 49}{x + 7}$

$\frac{6 x (x - 5) (x + 7)}{x^{2} - 49} \cdot \frac{6 x}{2 x^{3} - 50 x} \frac{x^{2} - 49}{x + 7}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$\frac{6 x (x - 5) (x + 7)}{x^{2} - 7^{2}} \cdot \frac{6 x}{2 x^{3} - 50 x} \frac{x^{2} - 49}{x + 7}$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 7$ .

$\frac{6 x (x - 5) (x + 7)}{(x + 7) (x - 7)} \cdot \frac{6 x}{2 x^{3} - 50 x} \frac{x^{2} - 49}{x + 7}$

Schritt 4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{3} - 50 x$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$\frac{6 x (x - 5) (x + 7)}{(x + 7) (x - 7)} \cdot \frac{6 x}{2 x (x^{2}) - 50 x} \frac{x^{2} - 49}{x + 7}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 50 x$ heraus.

$\frac{6 x (x - 5) (x + 7)}{(x + 7) (x - 7)} \cdot \frac{6 x}{2 x (x^{2}) + 2 x (- 25)} \frac{x^{2} - 49}{x + 7}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (x^{2}) + 2 x (- 25)$ heraus.

$\frac{6 x (x - 5) (x + 7)}{(x + 7) (x - 7)} \cdot \frac{6 x}{2 x (x^{2} - 25)} \frac{x^{2} - 49}{x + 7}$

Schritt 4.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{6 x (x - 5) (x + 7)}{(x + 7) (x - 7)} \cdot \frac{6 x}{2 x (x^{2} - 5^{2})} \frac{x^{2} - 49}{x + 7}$

Schritt 4.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$\frac{6 x (x - 5) (x + 7)}{(x + 7) (x - 7)} \cdot \frac{6 x}{2 x (x + 5) (x - 5)} \frac{x^{2} - 49}{x + 7}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x (x - 5)$ .

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $2 x (x - 5)$ aus $6 x (x - 5) (x + 7)$ heraus.

$\frac{2 x (x - 5) ((3) (x + 7))}{(x + 7) (x - 7)} \cdot \frac{6 x}{2 x (x + 5) (x - 5)} \frac{x^{2} - 49}{x + 7}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $2 x (x - 5)$ aus $2 x (x + 5) (x - 5)$ heraus.

$\frac{2 x (x - 5) ((3) (x + 7))}{(x + 7) (x - 7)} \cdot \frac{6 x}{2 x (x - 5) (x + 5)} \frac{x^{2} - 49}{x + 7}$

Schritt 5.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x (x - 5) ((3) (x + 7))}{(x + 7) (x - 7)} \cdot \frac{6 x}{2 x (x - 5) (x + 5)} \frac{x^{2} - 49}{x + 7}$

Schritt 5.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(3) (x + 7)}{(x + 7) (x - 7)} \cdot \frac{6 x}{x + 5} \frac{x^{2} - 49}{x + 7}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{(3) (x + 7)}{(x + 7) (x - 7)}$ mit $\frac{6 x}{x + 5}$ .

$\frac{(3) (x + 7) (6 x)}{(x + 7) (x - 7) (x + 5)} \cdot \frac{x^{2} - 49}{x + 7}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$\frac{18 (x + 7) x}{(x + 7) (x - 7) (x + 5)} \cdot \frac{x^{2} - 49}{x + 7}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 7$ .

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $x + 7$ aus $18 (x + 7) x$ heraus.

$\frac{(x + 7) (18 x)}{(x + 7) (x - 7) (x + 5)} \cdot \frac{x^{2} - 49}{x + 7}$

Schritt 5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 7) (18 x)}{(x + 7) (x - 7) (x + 5)} \cdot \frac{x^{2} - 49}{x + 7}$

Schritt 5.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{18 x}{(x + 7) (x - 7) (x + 5)} (x^{2} - 49)$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $\frac{18 x}{(x + 7) (x - 7) (x + 5)}$ mit $x^{2} - 49$ .

$\frac{18 x (x^{2} - 49)}{(x + 7) (x - 7) (x + 5)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$\frac{18 x (x^{2} - 7^{2})}{(x + 7) (x - 7) (x + 5)}$

Schritt 6.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 7$ .

$\frac{18 x (x + 7) (x - 7)}{(x + 7) (x - 7) (x + 5)}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 7$ .

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Schritt 7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{18 x (x + 7) (x - 7)}{(x + 7) (x - 7) (x + 5)}$

Schritt 7.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{18 x (x - 7)}{(x - 7) (x + 5)}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 7$ .

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{18 x (x - 7)}{(x - 7) (x + 5)}$

Schritt 7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{18 x}{x + 5}$