Algebra Beispiele

$\log_{3} (x) + \log_{3} (6) \geq 2$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$\log_{3} (x) + \log_{3} (6) = 2$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (x \cdot 6) = 2$

Schritt 2.1.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x$ .

$\log_{3} (6 x) = 2$

Schritt 2.2

Schreibe $\log_{3} (6 x) = 2$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$3^{2} = 6 x$

Schritt 2.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Schreibe die Gleichung als $6 x = 3^{2}$ um.

$6 x = 3^{2}$

Schritt 2.3.2

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 3^{2}$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 3^{2}$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{3^{2}}{6}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 2.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} = \frac{3^{2}}{6}$

Schritt 2.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3^{2}}{6}$

Schritt 2.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.3.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{9}{6}$

Schritt 2.3.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $6$ .

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Schritt 2.3.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$x = \frac{3 (3)}{6}$

Schritt 2.3.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$x = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $\log_{3} (6 x) - 2$ .

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Schritt 3.1

Setze das Argument in $\log_{3} (6 x)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$6 x > 0$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $6 x > 0$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x > 0$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} > \frac{0}{6}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} > \frac{0}{6}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{0}{6}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Dividiere $0$ durch $6$ .

$x > 0$

Schritt 3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(0, \infty)$

Schritt 4

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \geq \frac{3}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x \geq \frac{3}{2}$

Intervallschreibweise:

$[\frac{3}{2}, \infty)$

Schritt 6