Algebra Beispiele

$- 3 = - 2 y^{3} - 5$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $- 2 y^{3} - 5 = - 3$ um.

$- 2 y^{3} - 5 = - 3$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 y^{3} = - 3 + 5$

Schritt 2.2

Addiere $- 3$ und $5$ .

$- 2 y^{3} = 2$

Schritt 3

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 y^{3} - 2 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 y^{3} - 2$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 y^{3}$ heraus.

$- 2 y^{3} - 2 = 0$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2$ heraus.

$- 2 y^{3} - 2 \cdot 1 = 0$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (y^{3}) - 2 (1)$ heraus.

$- 2 (y^{3} + 1) = 0$

Schritt 4.2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$- 2 (y^{3} + 1^{3}) = 0$

Schritt 4.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = y$ und $b = 1$ .

$- 2 ((y + 1) (y^{2} - y \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Schritt 4.4

Faktorisiere.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 2 ((y + 1) (y^{2} - y + 1^{2})) = 0$

Schritt 4.4.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 2 ((y + 1) (y^{2} - y + 1)) = 0$

Schritt 4.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 2 (y + 1) (y^{2} - y + 1) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y + 1 = 0$

$y^{2} - y + 1 = 0$

Schritt 6

Setze $y + 1$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $y + 1$ gleich $0$ .

$y + 1 = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 1$

Schritt 7

Setze $y^{2} - y + 1$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $y^{2} - y + 1$ gleich $0$ .

$y^{2} - y + 1 = 0$

Schritt 7.2

Löse $y^{2} - y + 1 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 7.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 1$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 7.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 2 (y + 1) (y^{2} - y + 1) = 0$ wahr machen.

$y = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$