Algebra Beispiele

$\frac{5}{x} + \frac{6}{5 x} > \frac{2}{3}$

Schritt 1

Vereinfache $\frac{5}{x} + \frac{6}{5 x}$ .

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Schritt 1.1

Um $\frac{5}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{5}{x} \cdot \frac{5}{5} + \frac{6}{5 x} > \frac{2}{3}$

Schritt 1.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x \cdot 5$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.2.1

Mutltipliziere $\frac{5}{x}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 5}{x \cdot 5} + \frac{6}{5 x} > \frac{2}{3}$

Schritt 1.2.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{5 \cdot 5}{5 x} + \frac{6}{5 x} > \frac{2}{3}$

Schritt 1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 \cdot 5 + 6}{5 x} > \frac{2}{3}$

Schritt 1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{25 + 6}{5 x} > \frac{2}{3}$

Schritt 1.4.2

Addiere $25$ und $6$ .

$\frac{31}{5 x} > \frac{2}{3}$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $5 x$ .

$\frac{31}{5 x} (5 x) = \frac{2}{3} (5 x)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache $\frac{31}{5 x} (5 x)$ .

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Schritt 3.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 \frac{31}{5 x} x = \frac{2}{3} (5 x)$

Schritt 3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.1.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$5 \frac{31}{5 (x)} x = \frac{2}{3} (5 x)$

Schritt 3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \frac{31}{5 x} x = \frac{2}{3} (5 x)$

Schritt 3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{31}{x} x = \frac{2}{3} (5 x)$

Schritt 3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{31}{x} x = \frac{2}{3} (5 x)$

Schritt 3.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$31 = \frac{2}{3} (5 x)$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere $\frac{2}{3} (5 x)$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kombiniere $5$ und $\frac{2}{3}$ .

$31 = \frac{5 \cdot 2}{3} x$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$31 = \frac{10}{3} x$

Schritt 3.2.1.3

Kombiniere $\frac{10}{3}$ und $x$ .

$31 = \frac{10 x}{3}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{10 x}{3} = 31$ um.

$\frac{10 x}{3} = 31$

Schritt 4.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{3}{10}$ .

$\frac{3}{10} \cdot \frac{10 x}{3} = \frac{3}{10} \cdot 31$

Schritt 4.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.1.1

Vereinfache $\frac{3}{10} \cdot \frac{10 x}{3}$ .

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Schritt 4.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{10} \cdot \frac{10 x}{3} = \frac{3}{10} \cdot 31$

Schritt 4.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{10} (10 x) = \frac{3}{10} \cdot 31$

Schritt 4.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 4.3.1.1.2.1

Faktorisiere $10$ aus $10 x$ heraus.

$\frac{1}{10} (10 (x)) = \frac{3}{10} \cdot 31$

Schritt 4.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{10} (10 x) = \frac{3}{10} \cdot 31$

Schritt 4.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{3}{10} \cdot 31$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Multipliziere $\frac{3}{10} \cdot 31$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Kombiniere $\frac{3}{10}$ und $31$ .

$x = \frac{3 \cdot 31}{10}$

Schritt 4.3.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $31$ .

$x = \frac{93}{10}$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{31}{5 x} - \frac{2}{3}$ .

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Schritt 5.1

Setze den Nenner in $\frac{31}{5 x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$5 x = 0$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 0$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 0$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{0}{5}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{0}{5}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{5}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Dividiere $0$ durch $5$ .

$x = 0$

Schritt 5.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 6

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < \frac{93}{10}$

$x > \frac{93}{10}$

Schritt 7

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 7.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 7.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{5}{- 2} + \frac{6}{5 (- 2)} > \frac{2}{3}$

Schritt 7.1.3

Die linke Seite $- 3.1$ ist nicht größer als die rechte Seite $0.\overline{6}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 7.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < \frac{93}{10}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < \frac{93}{10}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 5$

Schritt 7.2.2

Ersetze $x$ durch $5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{5}{5} + \frac{6}{5 (5)} > \frac{2}{3}$

Schritt 7.2.3

Die linke Seite $1.24$ ist größer als die rechte Seite $0.\overline{6}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 7.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{93}{10}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{93}{10}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 12$

Schritt 7.3.2

Ersetze $x$ durch $12$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{5}{12} + \frac{6}{5 (12)} > \frac{2}{3}$

Schritt 7.3.3

Die linke Seite $0.51\overline{6}$ ist nicht größer als die rechte Seite $0.\overline{6}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 7.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < \frac{93}{10}$ Wahr

$x > \frac{93}{10}$ Falsch

$x < 0$ Falsch

$0 < x < \frac{93}{10}$ Wahr

$x > \frac{93}{10}$ Falsch

Schritt 8

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 < x < \frac{93}{10}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$0 < x < \frac{93}{10}$

Intervallschreibweise:

$(0, \frac{93}{10})$

Schritt 10