Algebra Beispiele

$\log_{3} (5) + 2 \log_{3} (x) = \log_{3} (125)$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\log_{3} (5) + 2 \log_{3} (x) - \log_{3} (125) = 0$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \log_{3} (x) + \log_{3} (\frac{5}{125}) = 0$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $125$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$2 \log_{3} (x) + \log_{3} (\frac{5 (1)}{125}) = 0$

Schritt 3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $125$ heraus.

$2 \log_{3} (x) + \log_{3} (\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 25}) = 0$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \log_{3} (x) + \log_{3} (\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 25}) = 0$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \log_{3} (x) + \log_{3} (\frac{1}{25}) = 0$

Schritt 4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1

Vereinfache $2 \log_{3} (x) + \log_{3} (\frac{1}{25})$ .

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Schritt 4.1.1

Vereinfache $2 \log_{3} (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{3} (x^{2}) + \log_{3} (\frac{1}{25}) = 0$

Schritt 4.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (x^{2} \frac{1}{25}) = 0$

Schritt 4.1.3

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{25}$ .

$\log_{3} (\frac{x^{2}}{25}) = 0$

Schritt 5

Schreibe $\log_{3} (\frac{x^{2}}{25}) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$3^{0} = \frac{x^{2}}{25}$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{x^{2}}{25} = 3^{0}$ um.

$\frac{x^{2}}{25} = 3^{0}$

Schritt 6.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $25$ .

$25 \frac{x^{2}}{25} = 25 \cdot 3^{0}$

Schritt 6.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 6.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$25 \frac{x^{2}}{25} = 25 \cdot 3^{0}$

Schritt 6.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = 25 \cdot 3^{0}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache $25 \cdot 3^{0}$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{2} = 25 \cdot 1$

Schritt 6.3.2.1.2

Mutltipliziere $25$ mit $1$ .

$x^{2} = 25$

Schritt 6.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{25}$

Schritt 6.5

Vereinfache $\pm \sqrt{25}$ .

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Schritt 6.5.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Schritt 6.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 5$

Schritt 6.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 5$

Schritt 6.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 5$

Schritt 6.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 5, - 5$

Schritt 7

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{3} (5) + 2 \log_{3} (x) = \log_{3} (125)$ nicht erfüllen.

$x = 5$