Algebra Beispiele

$x^{2} - 2 x - y^{2} + 2 y = 1$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Hyperbel.

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Schritt 1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} - 2 x$ an.

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Schritt 1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 2$

$c = 0$

Schritt 1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 1.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Schritt 1.1.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{1}$

Schritt 1.1.3.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$d = - 1$

Schritt 1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Schritt 1.1.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.1.4.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Schritt 1.1.4.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.1.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e = 0 - 1$

Schritt 1.1.4.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$e = - 1$

Schritt 1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x - 1)}^{2} - 1$ ein.

${(x - 1)}^{2} - 1$

Schritt 1.2

Setze ${(x - 1)}^{2} - 1$ für $x^{2} - 2 x$ ein in der Gleichung $x^{2} - 2 x - y^{2} + 2 y = 1$ .

${(x - 1)}^{2} - 1 - y^{2} + 2 y = 1$

Schritt 1.3

Bringe $- 1$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $1$ auf beiden Seiten.

${(x - 1)}^{2} - y^{2} + 2 y = 1 + 1$

Schritt 1.4

Wende die quadratische Ergänzung auf $- y^{2} + 2 y$ an.

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Schritt 1.4.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = 2$

$c = 0$

Schritt 1.4.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.4.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.4.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.4.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.4.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{- 1}$

Schritt 1.4.3.2.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Schritt 1.4.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$d = - 1$

Schritt 1.4.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.4.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.4.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.4.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.4.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e = 0 - \frac{4}{- 4}$

Schritt 1.4.4.2.1.3

Dividiere $4$ durch $- 4$ .

$e = 0 - - 1$

Schritt 1.4.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = 0 + 1$

Schritt 1.4.4.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$e = 1$

Schritt 1.4.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(y - 1)}^{2} + 1$ ein.

$- {(y - 1)}^{2} + 1$

Schritt 1.5

Setze $- {(y - 1)}^{2} + 1$ für $- y^{2} + 2 y$ ein in der Gleichung $x^{2} - 2 x - y^{2} + 2 y = 1$ .

${(x - 1)}^{2} - {(y - 1)}^{2} + 1 = 1 + 1$

Schritt 1.6

Bringe $1$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $1$ auf beiden Seiten.

${(x - 1)}^{2} - {(y - 1)}^{2} = 1 + 1 - 1$

Schritt 1.7

Vereinfache $1 + 1 - 1$ .

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Schritt 1.7.1

Addiere $1$ und $1$ .

${(x - 1)}^{2} - {(y - 1)}^{2} = 2 - 1$

Schritt 1.7.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

${(x - 1)}^{2} - {(y - 1)}^{2} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Scheitelpunkte und Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = 1$

$b = 1$

$k = 1$

$h = 1$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Hyperbel folgt der Form von $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(1, 1)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Hyperbel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{1 + 1}$

Schritt 5.3.3

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt{2}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $a$ zu $h$ ermittelt werden.

$(h + a, k)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(2, 1)$

Schritt 6.3

Der zweite Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $a$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - a, k)$

Schritt 6.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(0, 1)$

Schritt 6.5

Die Scheitelpunkte einer Hyperbel folgen der Form $(h \pm a, k)$ . Hyperbeln haben zwei Scheitelpunkte.

$(2, 1), (0, 1)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $c$ zu $h$ gefunden werden.

$(h + c, k)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(1 + \sqrt{2}, 1)$

Schritt 7.3

Der zweite Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $c$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - c, k)$

Schritt 7.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(1 - \sqrt{2}, 1)$

Schritt 7.5

Die Brennpunkt einer Hyperbel folgen der Form $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hyperbeln haben zwei Brennpunkte.

$(1 + \sqrt{2}, 1), (1 - \sqrt{2}, 1)$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}}{1}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Dividiere $\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$ durch $1$ .

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Schritt 8.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Schritt 8.3.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{1 + 1}$

Schritt 8.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt{2}$

Schritt 9

Bestimme den fokalen Parameter.

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Schritt 9.1

Ermittle den Wert für den fokalen Parameter der Hyperbel mithilfe der folgenden Formel.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Schritt 9.2

Ersetze die Werte von $b$ und $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ in der Formel.

$\frac{1^{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 9.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 9.3.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 9.3.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 9.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 9.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 9.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 9.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 10

Die Asymptoten folgen der Form $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , da diese Hyperbel sich nach links und rechts öffnet.

$y = \pm 1 \cdot (x - (1)) + 1$

Schritt 11

Vereinfache, um die erste Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 11.1

Entferne die Klammern.

$y = 1 \cdot (x - (1)) + 1$

Schritt 11.2

Vereinfache $1 \cdot (x - (1)) + 1$ .

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Mutltipliziere $x - (1)$ mit $1$ .

$y = x - (1) + 1$

Schritt 11.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y = x - 1 + 1$

Schritt 11.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 1 + 1$ .

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Schritt 11.2.2.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$y = x + 0$

Schritt 11.2.2.2

Addiere $x$ und $0$ .

$y = x$

Schritt 12

Vereinfache, um die zweite Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 12.1

Entferne die Klammern.

$y = - 1 \cdot (x - (1)) + 1$

Schritt 12.2

Vereinfache $- 1 \cdot (x - (1)) + 1$ .

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Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y = - 1 \cdot (x - 1) + 1$

Schritt 12.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1$

Schritt 12.2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y = - x - 1 \cdot - 1 + 1$

Schritt 12.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = - x + 1 + 1$

Schritt 12.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$y = - x + 2$

Schritt 13

Diese Hyperbel hat zwei Asymptoten.

$y = x, y = - x + 2$

Schritt 14

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Hyperbel dar.

Mittelpunkt: $(1, 1)$

Scheitelpunkte: $(2, 1), (0, 1)$

Brennpunkte: $(1 + \sqrt{2}, 1), (1 - \sqrt{2}, 1)$

Exzentrizität: $\sqrt{2}$

Fokaler Parameter: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Asymptoten: $y = x$ , $y = - x + 2$

Schritt 15