Algebra Beispiele

$\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{12} + \sqrt{7}}$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{4 (3)} + \sqrt{7}}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{7}}$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} + \sqrt{7}}$

Schritt 2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} + \sqrt{7}}$ mit $\frac{2 \sqrt{3} - \sqrt{7}}{2 \sqrt{3} - \sqrt{7}}$ .

$\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} + \sqrt{7}} \cdot \frac{2 \sqrt{3} - \sqrt{7}}{2 \sqrt{3} - \sqrt{7}}$

Schritt 3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} + \sqrt{7}}$ mit $\frac{2 \sqrt{3} - \sqrt{7}}{2 \sqrt{3} - \sqrt{7}}$ .

$\frac{(\sqrt{7} + \sqrt{3}) (2 \sqrt{3} - \sqrt{7})}{(2 \sqrt{3} + \sqrt{7}) (2 \sqrt{3} - \sqrt{7})}$

Schritt 3.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(\sqrt{7} + \sqrt{3}) (2 \sqrt{3} - \sqrt{7})}{4 {\sqrt{3}}^{2} - 2 \sqrt{21} + 2 \sqrt{21} - {\sqrt{7}}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

$\frac{(\sqrt{7} + \sqrt{3}) (2 \sqrt{3} - \sqrt{7})}{5}$

Schritt 4

Multipliziere $(\sqrt{7} + \sqrt{3}) (2 \sqrt{3} - \sqrt{7})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{7} (2 \sqrt{3} - \sqrt{7}) + \sqrt{3} (2 \sqrt{3} - \sqrt{7})}{5}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{7} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{7} (- \sqrt{7}) + \sqrt{3} (2 \sqrt{3} - \sqrt{7})}{5}$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{7} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{7} (- \sqrt{7}) + \sqrt{3} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Schritt 5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Multipliziere $\sqrt{7} (2 \sqrt{3})$ .

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Schritt 5.1.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{2 \sqrt{7 \cdot 3} + \sqrt{7} (- \sqrt{7}) + \sqrt{3} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Schritt 5.1.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$\frac{2 \sqrt{21} + \sqrt{7} (- \sqrt{7}) + \sqrt{3} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $\sqrt{7} (- \sqrt{7})$ .

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Schritt 5.1.2.1

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - ({\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}) + \sqrt{3} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Schritt 5.1.2.2

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - ({\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}) + \sqrt{3} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Schritt 5.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \sqrt{21} - {\sqrt{7}}^{1 + 1} + \sqrt{3} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Schritt 5.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - {\sqrt{7}}^{2} + \sqrt{3} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Schritt 5.1.3

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

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Schritt 5.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 \sqrt{21} - {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{3} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Schritt 5.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{3} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Schritt 5.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - 7^{\frac{2}{2}} + \sqrt{3} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Schritt 5.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{21} - 7^{\frac{2}{2}} + \sqrt{3} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Schritt 5.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{21} - 7^{1} + \sqrt{3} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Schritt 5.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2 \sqrt{21} - 1 \cdot 7 + \sqrt{3} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - 7 + \sqrt{3} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Schritt 5.1.5

Multipliziere $\sqrt{3} (2 \sqrt{3})$ .

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Schritt 5.1.5.1

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - 7 + 2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Schritt 5.1.5.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - 7 + 2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Schritt 5.1.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \sqrt{21} - 7 + 2 {\sqrt{3}}^{1 + 1} + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Schritt 5.1.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - 7 + 2 {\sqrt{3}}^{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Schritt 5.1.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 5.1.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 \sqrt{21} - 7 + 2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Schritt 5.1.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - 7 + 2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Schritt 5.1.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - 7 + 2 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Schritt 5.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{21} - 7 + 2 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Schritt 5.1.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{21} - 7 + 2 \cdot 3^{1} + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Schritt 5.1.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2 \sqrt{21} - 7 + 2 \cdot 3 + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Schritt 5.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - 7 + 6 + \sqrt{3} (- \sqrt{7})}{5}$

Schritt 5.1.8

Multipliziere $\sqrt{3} (- \sqrt{7})$ .

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Schritt 5.1.8.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{2 \sqrt{21} - 7 + 6 - \sqrt{3 \cdot 7}}{5}$

Schritt 5.1.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - 7 + 6 - \sqrt{21}}{5}$

Schritt 5.2

Subtrahiere $\sqrt{21}$ von $2 \sqrt{21}$ .

$\frac{- 7 + 6 + \sqrt{21}}{5}$

Schritt 5.3

Addiere $- 7$ und $6$ .

$\frac{- 1 + \sqrt{21}}{5}$

Schritt 6

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- 1 (1) + \sqrt{21}}{5}$

Schritt 7

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{21}$ heraus.

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \sqrt{21})}{5}$

Schritt 8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{21})$ heraus.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{21})}{5}$

Schritt 9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1 - \sqrt{21}}{5}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1 - \sqrt{21}}{5}$

Dezimalform:

$0.71651513 \dots$