Algebra Beispiele

$f (x) = {(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = {(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$ als Gleichung.

$y = {(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = {(\frac{y^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als ${(\frac{y^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}} = x$ um.

${(\frac{y^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}} = x$

Schritt 3.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $5$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(\frac{y^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}})}^{5} = x^{5}$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${({(\frac{y^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(\frac{y^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{y^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = x^{5}$

Schritt 3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{y^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = x^{5}$

Schritt 3.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{y^{7} - 2}{3})}^{1} = x^{5}$

Schritt 3.3.1.2

Zerlege den Bruch $\frac{y^{7} - 2}{3}$ in zwei Brüche.

${(\frac{y^{7}}{3} + \frac{- 2}{3})}^{1} = x^{5}$

Schritt 3.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

${(\frac{y^{7}}{3} - \frac{2}{3})}^{1} = x^{5}$

Schritt 3.3.1.4

Vereinfache.

$\frac{y^{7}}{3} - \frac{2}{3} = x^{5}$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Addiere $\frac{2}{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{7}}{3} = x^{5} + \frac{2}{3}$

Schritt 3.4.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 \frac{y^{7}}{3} = 3 (x^{5} + \frac{2}{3})$

Schritt 3.4.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.4.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{y^{7}}{3} = 3 (x^{5} + \frac{2}{3})$

Schritt 3.4.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{7} = 3 (x^{5} + \frac{2}{3})$

Schritt 3.4.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.2.1

Vereinfache $3 (x^{5} + \frac{2}{3})$ .

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Schritt 3.4.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{7} = 3 x^{5} + 3 (\frac{2}{3})$

Schritt 3.4.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{7} = 3 x^{5} + 3 (\frac{2}{3})$

Schritt 3.4.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{7} = 3 x^{5} + 2$

Schritt 3.4.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[7]{3 x^{5} + 2}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{3 x^{5} + 2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{3 x^{5} + 2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = {(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[7]{3 {({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}})}^{5} + 2}$

Schritt 5.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 5.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[7]{3 {(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5} \cdot 5} + 2}$

Schritt 5.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[7]{3 {(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5} \cdot 5} + 2}$

Schritt 5.2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[7]{3 (\frac{x^{7} - 2}{3}) + 2}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[7]{3 (\frac{x^{7} - 2}{3}) + 2}$

Schritt 5.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[7]{x^{7} - 2 + 2}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 5.2.5.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[7]{x^{7} + 0}$

Schritt 5.2.5.2

Addiere $x^{7}$ und $0$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[7]{x^{7}}$

Schritt 5.2.6

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(\frac{{(\sqrt[7]{3 x^{5} + 2})}^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}$ als ${(3 x^{5} + 2)}^{\frac{1}{7}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(\frac{{({(3 x^{5} + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 5.3.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 x^{5} + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(\frac{{(3 x^{5} + 2)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 5.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(\frac{{(3 x^{5} + 2)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 5.3.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(\frac{(3 x^{5} + 2) - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 5.3.3.3

Vereinfache.

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(\frac{3 x^{5} + 2 - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 5.3.3.4

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(\frac{3 x^{5} + 0}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 5.3.3.5

Addiere $3 x^{5}$ und $0$ .

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(\frac{3 x^{5}}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(\frac{3 x^{5}}{3})}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 5.3.4.1.2

Dividiere $x^{5}$ durch $1$ .

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 5.3.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{\frac{1}{5}}$ .

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Schritt 5.3.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = x^{5 (\frac{1}{5})}$

Schritt 5.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = x^{5 (\frac{1}{5})}$

Schritt 5.3.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{3 x^{5} + 2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = {(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{3 x^{5} + 2}$