Algebra Beispiele

$x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 25$ $x + 2 y = - 9$

Schritt 1

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 9 - 2 y$

$x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 25$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- 9 - 2 y$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 25$ durch $- 9 - 2 y$ .

${(- 9 - 2 y)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 25$

$x = - 9 - 2 y$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${(- 9 - 2 y)}^{2} + {(y + 2)}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Schreibe ${(- 9 - 2 y)}^{2}$ als $(- 9 - 2 y) (- 9 - 2 y)$ um.

$(- 9 - 2 y) (- 9 - 2 y) + {(y + 2)}^{2} = 25$

$x = - 9 - 2 y$

Schritt 2.2.1.1.2

Multipliziere $(- 9 - 2 y) (- 9 - 2 y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 9 (- 9 - 2 y) - 2 y (- 9 - 2 y) + {(y + 2)}^{2} = 25$

$x = - 9 - 2 y$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 9 \cdot - 9 - 9 (- 2 y) - 2 y (- 9 - 2 y) + {(y + 2)}^{2} = 25$

$x = - 9 - 2 y$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 9 \cdot - 9 - 9 (- 2 y) - 2 y \cdot - 9 - 2 y (- 2 y) + {(y + 2)}^{2} = 25$

$x = - 9 - 2 y$

$- 9 \cdot - 9 - 9 (- 2 y) - 2 y \cdot - 9 - 2 y (- 2 y) + {(y + 2)}^{2} = 25$

$x = - 9 - 2 y$

Schritt 2.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 9$ .

$81 - 9 (- 2 y) - 2 y \cdot - 9 - 2 y (- 2 y) + {(y + 2)}^{2} = 25$

$x = - 9 - 2 y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 9$ .

$81 + 18 y - 2 y \cdot - 9 - 2 y (- 2 y) + {(y + 2)}^{2} = 25$

$x = - 9 - 2 y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 2$ .

$81 + 18 y + 18 y - 2 y (- 2 y) + {(y + 2)}^{2} = 25$

$x = - 9 - 2 y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$81 + 18 y + 18 y - 2 \cdot (- 2 y \cdot y) + {(y + 2)}^{2} = 25$

$x = - 9 - 2 y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.5

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.1.3.1.5.1

Bewege $y$ .

$81 + 18 y + 18 y - 2 \cdot (- 2 (y \cdot y)) + {(y + 2)}^{2} = 25$

$x = - 9 - 2 y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$81 + 18 y + 18 y - 2 \cdot (- 2 y^{2}) + {(y + 2)}^{2} = 25$

$x = - 9 - 2 y$

$81 + 18 y + 18 y - 2 \cdot (- 2 y^{2}) + {(y + 2)}^{2} = 25$

$x = - 9 - 2 y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$81 + 18 y + 18 y + 4 y^{2} + {(y + 2)}^{2} = 25$

$x = - 9 - 2 y$

$81 + 18 y + 18 y + 4 y^{2} + {(y + 2)}^{2} = 25$

$x = - 9 - 2 y$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Addiere $18 y$ und $18 y$ .

$81 + 36 y + 4 y^{2} + {(y + 2)}^{2} = 25$

$x = - 9 - 2 y$

$81 + 36 y + 4 y^{2} + {(y + 2)}^{2} = 25$

$x = - 9 - 2 y$

Schritt 2.2.1.1.4

Schreibe ${(y + 2)}^{2}$ als $(y + 2) (y + 2)$ um.

$81 + 36 y + 4 y^{2} + (y + 2) (y + 2) = 25$

$x = - 9 - 2 y$

Schritt 2.2.1.1.5

Multipliziere $(y + 2) (y + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$81 + 36 y + 4 y^{2} + y (y + 2) + 2 (y + 2) = 25$

$x = - 9 - 2 y$

Schritt 2.2.1.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$81 + 36 y + 4 y^{2} + y \cdot y + y \cdot 2 + 2 (y + 2) = 25$

$x = - 9 - 2 y$

Schritt 2.2.1.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$81 + 36 y + 4 y^{2} + y \cdot y + y \cdot 2 + 2 y + 2 \cdot 2 = 25$

$x = - 9 - 2 y$

$81 + 36 y + 4 y^{2} + y \cdot y + y \cdot 2 + 2 y + 2 \cdot 2 = 25$

$x = - 9 - 2 y$

Schritt 2.2.1.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.1.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.6.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$81 + 36 y + 4 y^{2} + y^{2} + y \cdot 2 + 2 y + 2 \cdot 2 = 25$

$x = - 9 - 2 y$

Schritt 2.2.1.1.6.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$81 + 36 y + 4 y^{2} + y^{2} + 2 \cdot y + 2 y + 2 \cdot 2 = 25$

$x = - 9 - 2 y$

Schritt 2.2.1.1.6.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$81 + 36 y + 4 y^{2} + y^{2} + 2 y + 2 y + 4 = 25$

$x = - 9 - 2 y$

$81 + 36 y + 4 y^{2} + y^{2} + 2 y + 2 y + 4 = 25$

$x = - 9 - 2 y$

Schritt 2.2.1.1.6.2

Addiere $2 y$ und $2 y$ .

$81 + 36 y + 4 y^{2} + y^{2} + 4 y + 4 = 25$

$x = - 9 - 2 y$

$81 + 36 y + 4 y^{2} + y^{2} + 4 y + 4 = 25$

$x = - 9 - 2 y$

$81 + 36 y + 4 y^{2} + y^{2} + 4 y + 4 = 25$

$x = - 9 - 2 y$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1.2.1

Addiere $81$ und $4$ .

$36 y + 4 y^{2} + y^{2} + 4 y + 85 = 25$

$x = - 9 - 2 y$

Schritt 2.2.1.2.2

Addiere $36 y$ und $4 y$ .

$4 y^{2} + y^{2} + 40 y + 85 = 25$

$x = - 9 - 2 y$

Schritt 2.2.1.2.3

Addiere $4 y^{2}$ und $y^{2}$ .

$5 y^{2} + 40 y + 85 = 25$

$x = - 9 - 2 y$

$5 y^{2} + 40 y + 85 = 25$

$x = - 9 - 2 y$

$5 y^{2} + 40 y + 85 = 25$

$x = - 9 - 2 y$

$5 y^{2} + 40 y + 85 = 25$

$x = - 9 - 2 y$

$5 y^{2} + 40 y + 85 = 25$

$x = - 9 - 2 y$

Schritt 3

Löse in $5 y^{2} + 40 y + 85 = 25$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 y^{2} + 40 y + 85 - 25 = 0$

$x = - 9 - 2 y$

Schritt 3.2

Subtrahiere $25$ von $85$ .

$5 y^{2} + 40 y + 60 = 0$

$x = - 9 - 2 y$

Schritt 3.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $5$ aus $5 y^{2} + 40 y + 60$ heraus.

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 y^{2}$ heraus.

$5 (y^{2}) + 40 y + 60 = 0$

$x = - 9 - 2 y$

Schritt 3.3.1.2

Faktorisiere $5$ aus $40 y$ heraus.

$5 (y^{2}) + 5 (8 y) + 60 = 0$

$x = - 9 - 2 y$

Schritt 3.3.1.3

Faktorisiere $5$ aus $60$ heraus.

$5 y^{2} + 5 (8 y) + 5 \cdot 12 = 0$

$x = - 9 - 2 y$

Schritt 3.3.1.4

Faktorisiere $5$ aus $5 y^{2} + 5 (8 y)$ heraus.

$5 (y^{2} + 8 y) + 5 \cdot 12 = 0$

$x = - 9 - 2 y$

Schritt 3.3.1.5

Faktorisiere $5$ aus $5 (y^{2} + 8 y) + 5 \cdot 12$ heraus.

$5 (y^{2} + 8 y + 12) = 0$

$x = - 9 - 2 y$

$5 (y^{2} + 8 y + 12) = 0$

$x = - 9 - 2 y$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $y^{2} + 8 y + 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.3.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $12$ und deren Summe $8$ ist.

$2, 6$

$x = - 9 - 2 y$

Schritt 3.3.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$5 ((y + 2) (y + 6)) = 0$

$x = - 9 - 2 y$

$5 ((y + 2) (y + 6)) = 0$

$x = - 9 - 2 y$

Schritt 3.3.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$5 (y + 2) (y + 6) = 0$

$x = - 9 - 2 y$

$5 (y + 2) (y + 6) = 0$

$x = - 9 - 2 y$

$5 (y + 2) (y + 6) = 0$

$x = - 9 - 2 y$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y + 2 = 0$

$y + 6 = 0$

$x = - 9 - 2 y$

Schritt 3.5

Setze $y + 2$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $y + 2$ gleich $0$ .

$y + 2 = 0$

$x = - 9 - 2 y$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 2$

$x = - 9 - 2 y$

$y = - 2$

$x = - 9 - 2 y$

Schritt 3.6

Setze $y + 6$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $y + 6$ gleich $0$ .

$y + 6 = 0$

$x = - 9 - 2 y$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 6$

$x = - 9 - 2 y$

$y = - 6$

$x = - 9 - 2 y$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $5 (y + 2) (y + 6) = 0$ wahr machen.

$y = - 2, - 6$

$x = - 9 - 2 y$

$y = - 2, - 6$

$x = - 9 - 2 y$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 2$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = - 9 - 2 y$ durch $- 2$ .

$x = - 9 - 2 \cdot - 2$

$y = - 2$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $- 9 - 2 \cdot - 2$ .

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$x = - 9 + 4$

$y = - 2$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $- 9$ und $4$ .

$x = - 5$

$y = - 2$

$x = - 5$

$y = - 2$

$x = - 5$

$y = - 2$

$x = - 5$

$y = - 2$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 6$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $y$ in $x = - 9 - 2 y$ durch $- 6$ .

$x = - 9 - 2 \cdot - 6$

$y = - 6$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $- 9 - 2 \cdot - 6$ .

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Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 6$ .

$x = - 9 + 12$

$y = - 6$

Schritt 5.2.1.2

Addiere $- 9$ und $12$ .

$x = 3$

$y = - 6$

$x = 3$

$y = - 6$

$x = 3$

$y = - 6$

$x = 3$

$y = - 6$

Schritt 6

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(- 5, - 2)$

$(3, - 6)$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(- 5, - 2), (3, - 6)$

Gleichungsform:

$x = - 5, y = - 2$

$x = 3, y = - 6$

Schritt 8