Algebra Beispiele

$\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 3} \leq 0$

Schritt 1

Vereinfache $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 3}$ .

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Schritt 1.1

Um $\frac{1}{x + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{1}{x - 3} \leq 0$

Schritt 1.2

Um $\frac{1}{x - 3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{1}{x - 3} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} \leq 0$

Schritt 1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 1) (x - 3)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 1}$ mit $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x - 3)} + \frac{1}{x - 3} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} \leq 0$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x - 3}$ mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x - 3)} + \frac{x + 1}{(x - 3) (x + 1)} \leq 0$

Schritt 1.3.3

Stelle die Faktoren von $(x - 3) (x + 1)$ um.

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x - 3)} + \frac{x + 1}{(x + 1) (x - 3)} \leq 0$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x - 3 + x + 1}{(x + 1) (x - 3)} \leq 0$

Schritt 1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{2 x - 3 + 1}{(x + 1) (x - 3)} \leq 0$

Schritt 1.5.2

Addiere $- 3$ und $1$ .

$\frac{2 x - 2}{(x + 1) (x - 3)} \leq 0$

Schritt 1.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 2$ heraus.

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Schritt 1.5.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 (x) - 2}{(x + 1) (x - 3)} \leq 0$

Schritt 1.5.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (x) + 2 (- 1)}{(x + 1) (x - 3)} \leq 0$

Schritt 1.5.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (- 1)$ heraus.

$\frac{2 (x - 1)}{(x + 1) (x - 3)} \leq 0$

Schritt 2

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 5

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 6

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 1$

$x = - 1$

$x = 3$

Schritt 7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 1, - 1, 3$

Schritt 8

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 3}$ .

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Schritt 8.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{x + 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 1 = 0$

Schritt 8.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 8.3

Setze den Nenner in $\frac{1}{x - 3}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 3 = 0$

Schritt 8.4

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 8.5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 3) \cup (3, \infty)$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 3$

$x > 3$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{(- 4) + 1} + \frac{1}{(- 4) - 3} \leq 0$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $- 0.\overline{476190}$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{(0) + 1} + \frac{1}{(0) - 3} \leq 0$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $0.\overline{6}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $1 < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $1 < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{(2) + 1} + \frac{1}{(2) - 3} \leq 0$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $- 0.\overline{6}$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 10.4.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{(6) + 1} + \frac{1}{(6) - 3} \leq 0$

Schritt 10.4.3

Die linke Seite $0.\overline{476190}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 1$ Wahr

$- 1 < x < 1$ Falsch

$1 < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Falsch

$x < - 1$ Wahr

$- 1 < x < 1$ Falsch

$1 < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Falsch

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 1$ oder $1 \leq x < 3$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < - 1 or 1 \leq x < 3$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1) \cup [1, 3)$

Schritt 13