Algebra Beispiele

$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{a - b}$

Schritt 1

Addiere $\frac{1}{b}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{a} = \frac{1}{a - b} + \frac{1}{b}$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$a, a - b, b$

Schritt 2.2

Da $a, a - b, b$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, gibt es vier Schritte, um das kgV zu ermitteln. Bestimme das kgV für den numerischen, variablen und zusammengesetzten Teil. Multipliziere sie dann miteinander.

Schritte, um das kgV für $a, a - b, b$ zu finden, sind:

1. Finde das kgV für den numerischen Teil $1, 1, 1$ .

2. Finde das kgV für den variablen Teil $a^{1}, b^{1}$ .

Finde das kgV für den zusammengesetzten variablen Teil $a - b$ .

4. Multipliziere jedes kgV miteinander.

Schritt 2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.5

Das kgV von $1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 2.6

Der Teiler von $a^{1}$ ist $a$ selbst.

$a^{1} = a$

$a$ occurs $1$ time.

Schritt 2.7

Der Teiler von $b^{1}$ ist $b$ selbst.

$b^{1} = b$

$b$ occurs $1$ time.

Schritt 2.8

Das kgV von $a^{1}, b^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$a \cdot b$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $a$ mit $b$ .

$a b$

Schritt 2.10

Der Teiler von $a - b$ ist $a - b$ selbst.

$(a - b) = a - b$

$(a - b)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.11

Das kgV von $a - b$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$a - b$

Schritt 2.12

Das kleinste gemeinsame Vielfache $LCM$ einer Reihe von Zahlen ist die kleinste Zahl, von der die Zahlen Teiler sind.

$a b (a - b)$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{a} = \frac{1}{a - b} + \frac{1}{b}$ mit $a b (a - b)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{a} = \frac{1}{a - b} + \frac{1}{b}$ mit $a b (a - b)$ .

$\frac{1}{a} (a b (a - b)) = \frac{1}{a - b} (a b (a - b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a$ .

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $a$ aus $a b (a - b)$ heraus.

$\frac{1}{a} (a (b (a - b))) = \frac{1}{a - b} (a b (a - b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{a} (a (b (a - b))) = \frac{1}{a - b} (a b (a - b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Schritt 3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$b (a - b) = \frac{1}{a - b} (a b (a - b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Schritt 3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$b a + b (- b) = \frac{1}{a - b} (a b (a - b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Schritt 3.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$b a - b \cdot b = \frac{1}{a - b} (a b (a - b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Schritt 3.2.4

Multipliziere $b$ mit $b$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.4.1

Bewege $b$ .

$b a - (b \cdot b) = \frac{1}{a - b} (a b (a - b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Schritt 3.2.4.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$b a - b^{2} = \frac{1}{a - b} (a b (a - b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a - b$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Faktorisiere $a - b$ aus $a b (a - b)$ heraus.

$b a - b^{2} = \frac{1}{a - b} ((a - b) (a b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Schritt 3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$b a - b^{2} = \frac{1}{a - b} ((a - b) (a b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Schritt 3.3.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$b a - b^{2} = a b + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $b$ .

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Schritt 3.3.1.2.1

Faktorisiere $b$ aus $a b (a - b)$ heraus.

$b a - b^{2} = a b + \frac{1}{b} (b (a (a - b)))$

Schritt 3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$b a - b^{2} = a b + \frac{1}{b} (b (a (a - b)))$

Schritt 3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$b a - b^{2} = a b + a (a - b)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$b a - b^{2} = a b + a \cdot a + a (- b)$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$b a - b^{2} = a b + a^{2} + a (- b)$

Schritt 3.3.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$b a - b^{2} = a b + a^{2} - a b$

Schritt 3.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $a b + a^{2} - a b$ .

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Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $a b$ von $a b$ .

$b a - b^{2} = a^{2} + 0$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $a^{2}$ und $0$ .

$b a - b^{2} = a^{2}$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $a^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$b a - b^{2} - a^{2} = 0$

Schritt 4.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.3

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = b$ und $c = - b^{2}$ in die Quadratformel ein und löse nach $a$ auf.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (- b^{2}))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.1.1

Faktorisiere $b^{2}$ aus $b^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1 b^{2}$ heraus.

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Schritt 4.4.1.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 - 4 \cdot - 1 \cdot (- 1 b^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.4.1.1.2

Faktorisiere $b^{2}$ aus $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1 b^{2}$ heraus.

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 4 \cdot - 1 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.4.1.1.3

Faktorisiere $b^{2}$ aus $b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 4 \cdot - 1 \cdot - 1)$ heraus.

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4 \cdot - 1 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 4.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 + 4 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.4.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.4.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.4.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 3}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.4.1.5

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$a = \frac{- b \pm b (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.4.1.7

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 4.4.3

Vereinfache $\frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{- 2}$ .

$a = \frac{b \pm b i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1.1

Faktorisiere $b^{2}$ aus $b^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1 b^{2}$ heraus.

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Schritt 4.5.1.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 - 4 \cdot - 1 \cdot (- 1 b^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.5.1.1.2

Faktorisiere $b^{2}$ aus $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1 b^{2}$ heraus.

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 4 \cdot - 1 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.5.1.1.3

Faktorisiere $b^{2}$ aus $b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 4 \cdot - 1 \cdot - 1)$ heraus.

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4 \cdot - 1 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 4.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 + 4 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.5.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.5.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.5.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 3}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.5.1.5

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$a = \frac{- b \pm b (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.5.1.7

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 4.5.3

Vereinfache $\frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{- 2}$ .

$a = \frac{b \pm b i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$a = \frac{b + b i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.5.5

Faktorisiere $b$ aus $b + b i \sqrt{3}$ heraus.

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Schritt 4.5.5.1

Potenziere $b$ mit $1$ .

$a = \frac{b + b i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.5.5.2

Faktorisiere $b$ aus $b^{1}$ heraus.

$a = \frac{b \cdot 1 + b i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.5.5.3

Faktorisiere $b$ aus $b i \sqrt{3}$ heraus.

$a = \frac{b \cdot 1 + b (i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 4.5.5.4

Faktorisiere $b$ aus $b \cdot 1 + b (i \sqrt{3})$ heraus.

$a = \frac{b (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 4.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1.1

Faktorisiere $b^{2}$ aus $b^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1 b^{2}$ heraus.

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Schritt 4.6.1.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 - 4 \cdot - 1 \cdot (- 1 b^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.6.1.1.2

Faktorisiere $b^{2}$ aus $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1 b^{2}$ heraus.

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 4 \cdot - 1 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.6.1.1.3

Faktorisiere $b^{2}$ aus $b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 4 \cdot - 1 \cdot - 1)$ heraus.

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4 \cdot - 1 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 4.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 + 4 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.6.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.6.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.6.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 3}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.6.1.5

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$a = \frac{- b \pm b (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.6.1.7

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 4.6.3

Vereinfache $\frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{- 2}$ .

$a = \frac{b \pm b i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$a = \frac{b - b i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.6.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.5.1

Faktorisiere $b$ aus $b - b i \sqrt{3}$ heraus.

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Schritt 4.6.5.1.1

Potenziere $b$ mit $1$ .

$a = \frac{b - b i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.6.5.1.2

Faktorisiere $b$ aus $b^{1}$ heraus.

$a = \frac{b \cdot 1 - b i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.6.5.1.3

Faktorisiere $b$ aus $- b i \sqrt{3}$ heraus.

$a = \frac{b \cdot 1 + b (- 1 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 4.6.5.1.4

Faktorisiere $b$ aus $b \cdot 1 + b (- 1 i \sqrt{3})$ heraus.

$a = \frac{b (1 - 1 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 4.6.5.2

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$a = \frac{b (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 4.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$a = \frac{b (1 + i \sqrt{3})}{2}$

$a = \frac{b (1 - i \sqrt{3})}{2}$

$a = \frac{b (1 + i \sqrt{3})}{2}$

$a = \frac{b (1 - i \sqrt{3})}{2}$