Algebra Beispiele

$\frac{p^{2} - p - 2}{2 p^{2} + 3 p + 1} \div \frac{p^{2} - 3 p + 2}{p^{2} + 7 p - 8}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{p^{2} - p - 2}{2 p^{2} + 3 p + 1} \cdot \frac{p^{2} + 7 p - 8}{p^{2} - 3 p + 2}$

Schritt 2

Faktorisiere $p^{2} - p - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 2, 1$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(p - 2) (p + 1)}{2 p^{2} + 3 p + 1} \cdot \frac{p^{2} + 7 p - 8}{p^{2} - 3 p + 2}$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ und deren Summe gleich $b = 3$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 p$ heraus.

$\frac{(p - 2) (p + 1)}{2 p^{2} + 3 (p) + 1} \cdot \frac{p^{2} + 7 p - 8}{p^{2} - 3 p + 2}$

Schritt 3.1.2

Schreibe $3$ um als $1$ plus $2$

$\frac{(p - 2) (p + 1)}{2 p^{2} + (1 + 2) p + 1} \cdot \frac{p^{2} + 7 p - 8}{p^{2} - 3 p + 2}$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(p - 2) (p + 1)}{2 p^{2} + 1 p + 2 p + 1} \cdot \frac{p^{2} + 7 p - 8}{p^{2} - 3 p + 2}$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $p$ mit $1$ .

$\frac{(p - 2) (p + 1)}{2 p^{2} + p + 2 p + 1} \cdot \frac{p^{2} + 7 p - 8}{p^{2} - 3 p + 2}$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(p - 2) (p + 1)}{(2 p^{2} + p) + 2 p + 1} \cdot \frac{p^{2} + 7 p - 8}{p^{2} - 3 p + 2}$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(p - 2) (p + 1)}{p (2 p + 1) + 1 (2 p + 1)} \cdot \frac{p^{2} + 7 p - 8}{p^{2} - 3 p + 2}$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 p + 1$ .

$\frac{(p - 2) (p + 1)}{(2 p + 1) (p + 1)} \cdot \frac{p^{2} + 7 p - 8}{p^{2} - 3 p + 2}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $p + 1$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(p - 2) (p + 1)}{(2 p + 1) (p + 1)} \cdot \frac{p^{2} + 7 p - 8}{p^{2} - 3 p + 2}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{p - 2}{2 p + 1} \cdot \frac{p^{2} + 7 p - 8}{p^{2} - 3 p + 2}$

Schritt 5

Faktorisiere $p^{2} + 7 p - 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 8$ und deren Summe $7$ ist.

$- 1, 8$

Schritt 5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{p - 2}{2 p + 1} \cdot \frac{(p - 1) (p + 8)}{p^{2} - 3 p + 2}$

Schritt 6

Faktorisiere $p^{2} - 3 p + 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $2$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 2, - 1$

Schritt 6.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{p - 2}{2 p + 1} \cdot \frac{(p - 1) (p + 8)}{(p - 2) (p - 1)}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $p - 2$ .

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{p - 2}{2 p + 1} \cdot \frac{(p - 1) (p + 8)}{(p - 2) (p - 1)}$

Schritt 7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 p + 1} \cdot \frac{(p - 1) (p + 8)}{p - 1}$

Schritt 8

Mutltipliziere $\frac{1}{2 p + 1}$ mit $\frac{(p - 1) (p + 8)}{p - 1}$ .

$\frac{(p - 1) (p + 8)}{(2 p + 1) (p - 1)}$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $p - 1$ .

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(p - 1) (p + 8)}{(2 p + 1) (p - 1)}$

Schritt 9.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{p + 8}{2 p + 1}$