Algebra Beispiele

$x^{6} - x^{4} - x^{2} + 1 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x^{6} - x^{4}) - x^{2} + 1 = 0$

Schritt 1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{4} (x^{2} - 1) - (x^{2} - 1) = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x^{2} - 1$ .

$(x^{2} - 1) (x^{4} - 1) = 0$

Schritt 1.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(x^{2} - 1^{2}) (x^{4} - 1) = 0$

Schritt 1.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$(x + 1) (x - 1) (x^{4} - 1) = 0$

Schritt 1.5

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$(x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} - 1) = 0$

Schritt 1.6

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} - 1^{2}) = 0$

Schritt 1.7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 1$ .

$(x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1)) = 0$

Schritt 1.8

Faktorisiere.

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Schritt 1.8.1

Vereinfache.

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Schritt 1.8.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2})) = 0$

Schritt 1.8.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.8.1.2.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$(x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1))) = 0$

Schritt 1.8.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 1.8.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 1.9

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 1.9.1

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$(x + 1) (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 1.9.2

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$(x + 1) (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 1.9.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(x + 1)}^{1 + 1} (x - 1) (x^{2} + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 1.9.4

Addiere $1$ und $1$ .

${(x + 1)}^{2} (x - 1) (x^{2} + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 1.9.5

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

${(x + 1)}^{2} ((x - 1) (x - 1)) (x^{2} + 1) = 0$

Schritt 1.9.6

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

${(x + 1)}^{2} ((x - 1) (x - 1)) (x^{2} + 1) = 0$

Schritt 1.9.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{1 + 1} (x^{2} + 1) = 0$

Schritt 1.9.8

Addiere $1$ und $1$ .

${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} (x^{2} + 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Schritt 3

Setze ${(x + 1)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze ${(x + 1)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Schritt 3.2

Löse ${(x + 1)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 4

Setze ${(x - 1)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze ${(x - 1)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 4.2

Löse ${(x - 1)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 5

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse $x^{2} + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 1$

Schritt 5.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 5.2.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i$

Schritt 5.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i$

Schritt 5.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i$

Schritt 5.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i, - i$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} (x^{2} + 1) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, 1, i, - i$

Schritt 7