Algebra Beispiele

$\sqrt{4 x + 1} - \sqrt{2 x} = 1$

Schritt 1

Addiere $\sqrt{2 x}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{4 x + 1} = 1 + \sqrt{2 x}$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{4 x + 1}}^{2} = {(1 + \sqrt{2 x})}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 x + 1}$ als ${(4 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(4 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{2 x})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(4 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{2 x})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(4 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{2 x})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(4 x + 1)}^{1} = {(1 + \sqrt{2 x})}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$4 x + 1 = {(1 + \sqrt{2 x})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(1 + \sqrt{2 x})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(1 + \sqrt{2 x})}^{2}$ als $(1 + \sqrt{2 x}) (1 + \sqrt{2 x})$ um.

$4 x + 1 = (1 + \sqrt{2 x}) (1 + \sqrt{2 x})$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(1 + \sqrt{2 x}) (1 + \sqrt{2 x})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 1 = 1 (1 + \sqrt{2 x}) + \sqrt{2 x} (1 + \sqrt{2 x})$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 1 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} (1 + \sqrt{2 x})$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 1 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} \cdot 1 + \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$4 x + 1 = 1 + 1 \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} \cdot 1 + \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $\sqrt{2 x}$ mit $1$ .

$4 x + 1 = 1 + \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} \cdot 1 + \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $\sqrt{2 x}$ mit $1$ .

$4 x + 1 = 1 + \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Multipliziere $\sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.4.1

Potenziere $\sqrt{2 x}$ mit $1$ .

$4 x + 1 = 1 + \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} + {\sqrt{2 x}}^{1} \sqrt{2 x}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.2

Potenziere $\sqrt{2 x}$ mit $1$ .

$4 x + 1 = 1 + \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} + {\sqrt{2 x}}^{1} {\sqrt{2 x}}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 x + 1 = 1 + \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} + {\sqrt{2 x}}^{1 + 1}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$4 x + 1 = 1 + \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} + {\sqrt{2 x}}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Schreibe ${\sqrt{2 x}}^{2}$ als $2 x$ um.

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Schritt 3.3.1.3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x}$ als ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$4 x + 1 = 1 + \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} + {({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x + 1 = 1 + \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} + {(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$4 x + 1 = 1 + \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x + 1 = 1 + \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$4 x + 1 = 1 + \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} + {(2 x)}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.5

Vereinfache.

$4 x + 1 = 1 + \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} + 2 x$

Schritt 3.3.1.3.2

Addiere $\sqrt{2 x}$ und $\sqrt{2 x}$ .

$4 x + 1 = 1 + 2 \sqrt{2 x} + 2 x$

Schritt 4

Löse nach $2 \sqrt{2 x}$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $1 + 2 \sqrt{2 x} + 2 x = 4 x + 1$ um.

$1 + 2 \sqrt{2 x} + 2 x = 4 x + 1$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $2 \sqrt{2 x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sqrt{2 x} + 2 x = 4 x + 1 - 1$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sqrt{2 x} = 4 x + 1 - 1 - 2 x$

Schritt 4.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 x + 1 - 1 - 2 x$ .

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Schritt 4.2.3.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$2 \sqrt{2 x} = 4 x + 0 - 2 x$

Schritt 4.2.3.2

Addiere $4 x$ und $0$ .

$2 \sqrt{2 x} = 4 x - 2 x$

Schritt 4.2.4

Subtrahiere $2 x$ von $4 x$ .

$2 \sqrt{2 x} = 2 x$

Schritt 5

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{2 x})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 6

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x}$ als ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache ${(2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

${(2 (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Multipliziere $2$ mit $2^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.1.2.1

Bewege $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2.2

Mutltipliziere $2^{\frac{1}{2}}$ mit $2$ .

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Schritt 6.2.1.2.2.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

${(2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(2^{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

${(2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(2^{\frac{1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2.5

Addiere $1$ und $2$ .

${(2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Wende die Produktregel auf $2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ an.

${(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 6.2.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 6.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 6.2.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2^{3} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 6.2.1.5

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 6.2.1.6

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 6.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 6.2.1.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$8 x^{1} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 6.2.1.7

Vereinfache.

$8 x = {(2 x)}^{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache ${(2 x)}^{2}$ .

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Schritt 6.3.1.1

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$8 x = 2^{2} x^{2}$

Schritt 6.3.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$8 x = 4 x^{2}$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Subtrahiere $4 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 x - 4 x^{2} = 0$

Schritt 7.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.2.1

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$8 u - 4 u^{2} = 0$

Schritt 7.2.2

Faktorisiere $4 u$ aus $8 u - 4 u^{2}$ heraus.

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Schritt 7.2.2.1

Faktorisiere $4 u$ aus $8 u$ heraus.

$4 u (2) - 4 u^{2} = 0$

Schritt 7.2.2.2

Faktorisiere $4 u$ aus $- 4 u^{2}$ heraus.

$4 u (2) + 4 u (- u) = 0$

Schritt 7.2.2.3

Faktorisiere $4 u$ aus $4 u (2) + 4 u (- u)$ heraus.

$4 u (2 - u) = 0$

Schritt 7.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$4 x (2 - x) = 0$

Schritt 7.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$2 - x = 0$

Schritt 7.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 7.5

Setze $2 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.5.1

Setze $2 - x$ gleich $0$ .

$2 - x = 0$

Schritt 7.5.2

Löse $2 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.5.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 2$

Schritt 7.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 7.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 7.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 7.5.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 7.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.5.2.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x = 2$

Schritt 7.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 x (2 - x) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2$