Algebra Beispiele

$f (x) = 12 \cdot 11^{3 x} + 13$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 12 \cdot 11^{3 x} + 13$ als Gleichung.

$y = 12 \cdot 11^{3 x} + 13$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 12 \cdot 11^{3 y} + 13$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $12 \cdot 11^{3 y} + 13 = x$ um.

$12 \cdot 11^{3 y} + 13 = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $13$ von beiden Seiten der Gleichung.

$12 \cdot 11^{3 y} = x - 13$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $12 \cdot 11^{3 y} = x - 13$ durch $12$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $12 \cdot 11^{3 y} = x - 13$ durch $12$ .

$\frac{12 \cdot 11^{3 y}}{12} = \frac{x}{12} + \frac{- 13}{12}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 \cdot 11^{3 y}}{12} = \frac{x}{12} + \frac{- 13}{12}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $11^{3 y}$ durch $1$ .

$11^{3 y} = \frac{x}{12} + \frac{- 13}{12}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$11^{3 y} = \frac{x}{12} - \frac{13}{12}$

Schritt 3.4

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (11^{3 y}) = \ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})$

Schritt 3.5

Zerlege $\ln (11^{3 y})$ durch Herausziehen von $3 y$ aus dem Logarithmus.

$3 y \ln (11) = \ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})$

Schritt 3.6

Teile jeden Ausdruck in $3 y \ln (11) = \ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})$ durch $3 \ln (11)$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y \ln (11) = \ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})$ durch $3 \ln (11)$ .

$\frac{3 y \ln (11)}{3 \ln (11)} = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

Schritt 3.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y \ln (11)}{3 \ln (11)} = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

Schritt 3.6.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y \ln (11)}{\ln (11)} = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

Schritt 3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (11)$ .

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Schritt 3.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \ln (11)}{\ln (11)} = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

Schritt 3.6.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 12 \cdot 11^{3 x} + 13$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (\frac{12 \cdot 11^{3 x} + 13}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (\frac{12 \cdot 11^{3 x} + 13 - 13}{12})}{3 \ln (11)}$

Schritt 5.2.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $12 \cdot 11^{3 x} + 13 - 13$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Subtrahiere $13$ von $13$ .

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (\frac{12 \cdot 11^{3 x} + 0}{12})}{3 \ln (11)}$

Schritt 5.2.3.2.2

Addiere $12 \cdot 11^{3 x}$ und $0$ .

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (\frac{12 \cdot 11^{3 x}}{12})}{3 \ln (11)}$

Schritt 5.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 5.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (\frac{12 \cdot 11^{3 x}}{12})}{3 \ln (11)}$

Schritt 5.2.3.3.2

Dividiere $11^{3 x}$ durch $1$ .

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (11^{3 x})}{3 \ln (11)}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache $3 \ln (11)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (11^{3 x})}{\ln (11^{3})}$

Schritt 5.2.5

Potenziere $11$ mit $3$ .

$f^{- 1} (12 \cdot 11^{3 x} + 13) = \frac{\ln (11^{3 x})}{\ln (1331)}$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{3 (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)})} + 13$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{3 (\frac{\ln (\frac{x - 13}{12})}{3 \ln (11)})} + 13$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache $3 \ln (11)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{3 (\frac{\ln (\frac{x - 13}{12})}{\ln (11^{3})})} + 13$

Schritt 5.3.3.3

Potenziere $11$ mit $3$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{3 (\frac{\ln (\frac{x - 13}{12})}{\ln (1331)})} + 13$

Schritt 5.3.3.4

Multipliziere $3 \frac{\ln (\frac{x - 13}{12})}{\ln (1331)}$ .

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Schritt 5.3.3.4.1

Kombiniere $3$ und $\frac{\ln (\frac{x - 13}{12})}{\ln (1331)}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{\frac{3 \ln (\frac{x - 13}{12})}{\ln (1331)}} + 13$

Schritt 5.3.3.4.2

Vereinfache $3 \ln (\frac{x - 13}{12})$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{\frac{\ln ({(\frac{x - 13}{12})}^{3})}{\ln (1331)}} + 13$

Schritt 5.3.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.5.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x - 13}{12}$ an.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{\frac{\ln (\frac{{(x - 13)}^{3}}{12^{3}})}{\ln (1331)}} + 13$

Schritt 5.3.3.5.2

Potenziere $12$ mit $3$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}) = 12 \cdot 11^{\frac{\ln (\frac{{(x - 13)}^{3}}{1728})}{\ln (1331)}} + 13$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 12 \cdot 11^{3 x} + 13$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{12} - \frac{13}{12})}{3 \ln (11)}$