Algebra Beispiele

$\frac{4 + \sqrt{12}}{4 - \sqrt{12}}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{4 + \sqrt{4 (3)}}{4 - \sqrt{12}}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{4 + \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{4 - \sqrt{12}}$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{4 - \sqrt{12}}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{4 - \sqrt{4 (3)}}$

Schritt 2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{4 - \sqrt{2^{2} \cdot 3}}$

Schritt 2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{4 - (2 \sqrt{3})}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{4 - 2 \sqrt{3}}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 + 2 \sqrt{3}$ und $4 - 2 \sqrt{3}$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (2) + 2 \sqrt{3}}{4 - 2 \sqrt{3}}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{2 (2) + 2 (\sqrt{3})}{4 - 2 \sqrt{3}}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ heraus.

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{4 - 2 \sqrt{3}}$

Schritt 3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 \cdot 2 - 2 \sqrt{3}}$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3})}$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2) + 2 (- \sqrt{3})$ heraus.

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 (2 - \sqrt{3})}$

Schritt 3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 (2 - \sqrt{3})}$

Schritt 3.4.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$

Schritt 4

Mutltipliziere $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$ mit $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$

Schritt 5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$ mit $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}$

Schritt 5.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}{4 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

$\frac{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}{1}$

Schritt 5.4

Dividiere $(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ durch $1$ .

$(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$

Schritt 6

Multipliziere $(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}$

Schritt 7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}$

Schritt 7.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$4 + 2 \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}$

Schritt 7.1.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}$

Schritt 7.1.5

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}$

Schritt 7.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3$

Schritt 7.2

Addiere $4$ und $3$ .

$7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}$

Schritt 7.3

Addiere $2 \sqrt{3}$ und $2 \sqrt{3}$ .

$7 + 4 \sqrt{3}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$7 + 4 \sqrt{3}$

Dezimalform:

$13.92820323 \dots$