Algebra Beispiele

$\frac{49 - y^{2}}{6 y^{2} + 42 y} \cdot \frac{48 y^{3}}{y^{2} - 10 y + 21}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$\frac{7^{2} - y^{2}}{6 y^{2} + 42 y} \cdot \frac{48 y^{3}}{y^{2} - 10 y + 21}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 7$ und $b = y$ .

$\frac{(7 + y) (7 - y)}{6 y^{2} + 42 y} \cdot \frac{48 y^{3}}{y^{2} - 10 y + 21}$

Schritt 2

Faktorisiere $6 y$ aus $6 y^{2} + 42 y$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $6 y$ aus $6 y^{2}$ heraus.

$\frac{(7 + y) (7 - y)}{6 y (y) + 42 y} \cdot \frac{48 y^{3}}{y^{2} - 10 y + 21}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $6 y$ aus $42 y$ heraus.

$\frac{(7 + y) (7 - y)}{6 y (y) + 6 y (7)} \cdot \frac{48 y^{3}}{y^{2} - 10 y + 21}$

Schritt 2.3

Faktorisiere $6 y$ aus $6 y (y) + 6 y (7)$ heraus.

$\frac{(7 + y) (7 - y)}{6 y (y + 7)} \cdot \frac{48 y^{3}}{y^{2} - 10 y + 21}$

Schritt 3

Faktorisiere $y^{2} - 10 y + 21$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $21$ und deren Summe $- 10$ ist.

$- 7, - 3$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(7 + y) (7 - y)}{6 y (y + 7)} \cdot \frac{48 y^{3}}{(y - 7) (y - 3)}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Kombinieren.

$\frac{(7 + y) (7 - y) (48 y^{3})}{6 y (y + 7) ((y - 7) (y - 3))}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $48$ und $6$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $6$ aus $(7 + y) (7 - y) (48 y^{3})$ heraus.

$\frac{6 ((7 + y) (7 - y) (8 y^{3}))}{6 y (y + 7) ((y - 7) (y - 3))}$

Schritt 4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6 y (y + 7) ((y - 7) (y - 3))$ heraus.

$\frac{6 ((7 + y) (7 - y) (8 y^{3}))}{6 ((y (y + 7)) ((y - 7) (y - 3)))}$

Schritt 4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 ((7 + y) (7 - y) (8 y^{3}))}{6 ((y (y + 7)) ((y - 7) (y - 3)))}$

Schritt 4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(7 + y) (7 - y) (8 y^{3})}{(y (y + 7)) ((y - 7) (y - 3))}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{3}$ und $y$ .

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $y$ aus $(7 + y) (7 - y) (8 y^{3})$ heraus.

$\frac{y ((7 + y) (7 - y) (8 y^{2}))}{(y (y + 7)) ((y - 7) (y - 3))}$

Schritt 4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $(y (y + 7)) ((y - 7) (y - 3))$ heraus.

$\frac{y ((7 + y) (7 - y) (8 y^{2}))}{y ((y + 7) ((y - 7) (y - 3)))}$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y ((7 + y) (7 - y) (8 y^{2}))}{y ((y + 7) ((y - 7) (y - 3)))}$

Schritt 4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(7 + y) (7 - y) (8 y^{2})}{(y + 7) ((y - 7) (y - 3))}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $7 + y$ und $y + 7$ .

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Schritt 4.4.1

Stelle die Terme um.

$\frac{(y + 7) (7 - y) (8 y^{2})}{(y + 7) ((y - 7) (y - 3))}$

Schritt 4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(y + 7) (7 - y) (8 y^{2})}{(y + 7) ((y - 7) (y - 3))}$

Schritt 4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(7 - y) (8 y^{2})}{(y - 7) (y - 3)}$

Schritt 4.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $7 - y$ und $y - 7$ .

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Schritt 4.5.1

Schreibe $7$ als $- 1 (- 7)$ um.

$\frac{(- 1 (- 7) - y) (8 y^{2})}{(y - 7) (y - 3)}$

Schritt 4.5.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$\frac{(- 1 (- 7) - (y)) (8 y^{2})}{(y - 7) (y - 3)}$

Schritt 4.5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 7) - (y)$ heraus.

$\frac{- 1 (- 7 + y) (8 y^{2})}{(y - 7) (y - 3)}$

Schritt 4.5.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- 1 (y - 7) (8 y^{2})}{(y - 7) (y - 3)}$

Schritt 4.5.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (y - 7) (8 y^{2})}{(y - 7) (y - 3)}$

Schritt 4.5.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 (8 y^{2})}{y - 3}$

Schritt 4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{- 8 y^{2}}{y - 3}$

Schritt 4.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8 y^{2}}{y - 3}$