Algebra Beispiele

$f (x) = 2 {(\frac{1}{4})}^{x} - 9$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 2 {(\frac{1}{4})}^{x} - 9$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $2 {(\frac{1}{4})}^{x} - 9 = 0$ um.

$2 {(\frac{1}{4})}^{x} - 9 = 0$

Schritt 1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$2 \frac{1^{x}}{4^{x}} - 9 = 0$

Schritt 1.2.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 \frac{1}{4^{x}} - 9 = 0$

Schritt 1.2.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{4^{x}}$ .

$\frac{2}{4^{x}} - 9 = 0$

Schritt 1.2.3

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{2}{4^{x}} = 9$

Schritt 1.2.4

Multipliziere beide Seiten mit $4^{x}$ .

$\frac{2}{4^{x}} \cdot 4^{x} = 9 \cdot 4^{x}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4^{x}$ .

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Schritt 1.2.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{4^{x}} \cdot 4^{x} = 9 \cdot 4^{x}$

Schritt 1.2.5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 = 9 \cdot 4^{x}$

Schritt 1.2.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Schreibe die Gleichung als $9 \cdot 4^{x} = 2$ um.

$9 \cdot 4^{x} = 2$

Schritt 1.2.6.2

Teile jeden Ausdruck in $9 \cdot 4^{x} = 2$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 \cdot 4^{x} = 2$ durch $9$ .

$\frac{9 \cdot 4^{x}}{9} = \frac{2}{9}$

Schritt 1.2.6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 1.2.6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 \cdot 4^{x}}{9} = \frac{2}{9}$

Schritt 1.2.6.2.2.1.2

Dividiere $4^{x}$ durch $1$ .

$4^{x} = \frac{2}{9}$

Schritt 1.2.6.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (4^{x}) = \ln (\frac{2}{9})$

Schritt 1.2.6.4

Zerlege $\ln (4^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (4) = \ln (\frac{2}{9})$

Schritt 1.2.6.5

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (4) = \ln (\frac{2}{9})$ durch $\ln (4)$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.6.5.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (4) = \ln (\frac{2}{9})$ durch $\ln (4)$ .

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (\frac{2}{9})}{\ln (4)}$

Schritt 1.2.6.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (4)$ .

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Schritt 1.2.6.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (\frac{2}{9})}{\ln (4)}$

Schritt 1.2.6.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{2}{9})}{\ln (4)}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{\ln (\frac{2}{9})}{\ln (4)}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 2 {(\frac{1}{4})}^{0} - 9$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 2 {(\frac{1}{4})}^{0} - 9$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $2 {(\frac{1}{4})}^{0} - 9$ .

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$y = 2 \frac{1^{0}}{4^{0}} - 9$

Schritt 2.2.2.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$y = 2 \frac{1}{4^{0}} - 9$

Schritt 2.2.2.1.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$y = 2 (\frac{1}{1}) - 9$

Schritt 2.2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 2.2.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 2 (\frac{1}{1}) - 9$

Schritt 2.2.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 2 \cdot 1 - 9$

Schritt 2.2.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = 2 - 9$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $9$ von $2$ .

$y = - 7$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 7)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{\ln (\frac{2}{9})}{\ln (4)}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 7)$

Schritt 4