Algebra Beispiele

$y = 9 - x$ $y = 2 x^{2} + 4 x + 6$

Schritt 1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$9 - x = 2 x^{2} + 4 x + 6$

Schritt 2

Löse $9 - x = 2 x^{2} + 4 x + 6$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$2 x^{2} + 4 x + 6 = 9 - x$

Schritt 2.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} + 4 x + 6 + x = 9$

Schritt 2.2.2

Addiere $4 x$ und $x$ .

$2 x^{2} + 5 x + 6 = 9$

Schritt 2.3

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} + 5 x + 6 - 9 = 0$

Schritt 2.4

Subtrahiere $9$ von $6$ .

$2 x^{2} + 5 x - 3 = 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ und deren Summe gleich $b = 5$ ist.

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Schritt 2.5.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$2 x^{2} + 5 (x) - 3 = 0$

Schritt 2.5.1.2

Schreibe $5$ um als $- 1$ plus $6$

$2 x^{2} + (- 1 + 6) x - 3 = 0$

Schritt 2.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - 1 x + 6 x - 3 = 0$

Schritt 2.5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 x^{2} - 1 x) + 6 x - 3 = 0$

Schritt 2.5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1) = 0$

Schritt 2.5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) (x + 3) = 0$

Schritt 2.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 3 = 0 + y = 2 x^{2} + 4 x + 6$

Schritt 2.7

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.7.1

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 2.7.2

Löse $2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.7.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 2.7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.7.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 2.8

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.8.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 2.8.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 2.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x - 1) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{2}, - 3$

Schritt 3

Berechne $y$ bei $x = \frac{1}{2}$ .

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Schritt 3.1

Ersetze $x$ durch $\frac{1}{2}$ .

$y = 2 {(\frac{1}{2})}^{2} + 4 (\frac{1}{2}) + 6$

Schritt 3.2

Vereinfache $2 {(\frac{1}{2})}^{2} + 4 (\frac{1}{2}) + 6$ .

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$y = 2 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 4 (\frac{1}{2}) + 6$

Schritt 3.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = 2 \frac{1}{2^{2}} + 4 (\frac{1}{2}) + 6$

Schritt 3.2.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = 2 (\frac{1}{4}) + 4 (\frac{1}{2}) + 6$

Schritt 3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = 2 \frac{1}{2 (2)} + 4 (\frac{1}{2}) + 6$

Schritt 3.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 2 \frac{1}{2 \cdot 2} + 4 (\frac{1}{2}) + 6$

Schritt 3.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{1}{2} + 4 (\frac{1}{2}) + 6$

Schritt 3.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{1}{2} + 2 (2) \frac{1}{2} + 6$

Schritt 3.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{1}{2} + 2 \cdot 2 \frac{1}{2} + 6$

Schritt 3.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{1}{2} + 2 + 6$

Schritt 3.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.2.2.1

Schreibe $2$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{2}{1} + 6$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{2}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} + 6$

Schritt 3.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{2}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2} + 6$

Schritt 3.2.2.4

Schreibe $6$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{6}{1}$

Schritt 3.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{6}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{6}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{6 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{1 + 2 \cdot 2 + 6 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{1 + 4 + 6 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.4.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$y = \frac{1 + 4 + 12}{2}$

Schritt 3.2.5

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 3.2.5.1

Addiere $1$ und $4$ .

$y = \frac{5 + 12}{2}$

Schritt 3.2.5.2

Addiere $5$ und $12$ .

$y = \frac{17}{2}$

Schritt 4

Berechne $y$ bei $x = - 3$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $x$ durch $- 3$ .

$y = 2 {(- 3)}^{2} + 4 (- 3) + 6$

Schritt 4.2

Vereinfache $2 {(- 3)}^{2} + 4 (- 3) + 6$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$y = 2 \cdot 9 + 4 (- 3) + 6$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$y = 18 + 4 (- 3) + 6$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$y = 18 - 12 + 6$

Schritt 4.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.2.1

Subtrahiere $12$ von $18$ .

$y = 6 + 6$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $6$ und $6$ .

$y = 12$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(\frac{1}{2}, \frac{17}{2})$

$(- 3, 12)$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(\frac{1}{2}, \frac{17}{2}), (- 3, 12)$

Gleichungsform:

$x = \frac{1}{2}, y = \frac{17}{2}$

$x = - 3, y = 12$

Schritt 7