Algebra Beispiele

$\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2} + x} - \frac{3}{x + 3}$

Schritt 1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{(x^{2} + x) (x + 3)}{(x^{2} + x) (x + 3)}$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{(x^{2} + x) (x + 3)}{(x^{2} + x) (x + 3)} - \frac{2}{x^{2} + x} - \frac{3}{x + 3}$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{(x^{2} + x) (x + 3)}{(x^{2} + x) (x + 3)}$ .

$\frac{(x^{2} + x) (x + 3)}{x ((x^{2} + x) (x + 3))} - \frac{2}{x^{2} + x} - \frac{3}{x + 3}$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $\frac{2}{x^{2} + x}$ mit $\frac{x (x + 3)}{x (x + 3)}$ .

$\frac{(x^{2} + x) (x + 3)}{x ((x^{2} + x) (x + 3))} - (\frac{2}{x^{2} + x} \cdot \frac{x (x + 3)}{x (x + 3)}) - \frac{3}{x + 3}$

Schritt 1.4

Mutltipliziere $\frac{2}{x^{2} + x}$ mit $\frac{x (x + 3)}{x (x + 3)}$ .

$\frac{(x^{2} + x) (x + 3)}{x ((x^{2} + x) (x + 3))} - \frac{2 (x (x + 3))}{(x^{2} + x) (x (x + 3))} - \frac{3}{x + 3}$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $\frac{3}{x + 3}$ mit $\frac{x (x^{2} + x)}{x (x^{2} + x)}$ .

$\frac{(x^{2} + x) (x + 3)}{x ((x^{2} + x) (x + 3))} - \frac{2 (x (x + 3))}{(x^{2} + x) (x (x + 3))} - (\frac{3}{x + 3} \cdot \frac{x (x^{2} + x)}{x (x^{2} + x)})$

Schritt 1.6

Mutltipliziere $\frac{3}{x + 3}$ mit $\frac{x (x^{2} + x)}{x (x^{2} + x)}$ .

$\frac{(x^{2} + x) (x + 3)}{x ((x^{2} + x) (x + 3))} - \frac{2 (x (x + 3))}{(x^{2} + x) (x (x + 3))} - \frac{3 (x (x^{2} + x))}{(x + 3) (x (x^{2} + x))}$

Schritt 1.7

Stelle die Faktoren von $x ((x^{2} + x) (x + 3))$ um.

$\frac{(x^{2} + x) (x + 3)}{x (x + 3) (x^{2} + x)} - \frac{2 (x (x + 3))}{(x^{2} + x) (x (x + 3))} - \frac{3 (x (x^{2} + x))}{(x + 3) (x (x^{2} + x))}$

Schritt 1.8

Stelle die Faktoren von $(x^{2} + x) (x (x + 3))$ um.

$\frac{(x^{2} + x) (x + 3)}{x (x + 3) (x^{2} + x)} - \frac{2 (x (x + 3))}{x (x + 3) (x^{2} + x)} - \frac{3 (x (x^{2} + x))}{(x + 3) (x (x^{2} + x))}$

Schritt 1.9

Stelle die Faktoren von $(x + 3) (x (x^{2} + x))$ um.

$\frac{(x^{2} + x) (x + 3)}{x (x + 3) (x^{2} + x)} - \frac{2 (x (x + 3))}{x (x + 3) (x^{2} + x)} - \frac{3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x^{2} + x) (x + 3) - 2 (x (x + 3)) - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere $(x^{2} + x) (x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} (x + 3) + x (x + 3) - 2 (x (x + 3)) - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Schritt 2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 3 + x (x + 3) - 2 (x (x + 3)) - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Schritt 2.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 3 + x \cdot x + x \cdot 3 - 2 (x (x + 3)) - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.2.1.1.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 2.2.2.1.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 3 + x \cdot x + x \cdot 3 - 2 (x (x + 3)) - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Schritt 2.2.2.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 3 + x \cdot x + x \cdot 3 - 2 (x (x + 3)) - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Schritt 2.2.2.1.1.2

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} \cdot 3 + x \cdot x + x \cdot 3 - 2 (x (x + 3)) - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Schritt 2.2.2.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 3 \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 3 - 2 (x (x + 3)) - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Schritt 2.2.2.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} + x^{2} + x \cdot 3 - 2 (x (x + 3)) - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Schritt 2.2.2.1.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} + x^{2} + 3 x - 2 (x (x + 3)) - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Schritt 2.2.2.2

Addiere $3 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2 (x (x + 3)) - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2 (x \cdot x + x \cdot 3) - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2 (x^{2} + x \cdot 3) - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Schritt 2.2.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2 (x^{2} + 3 \cdot x) - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Schritt 2.2.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2 x^{2} - 2 (3 x) - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2 x^{2} - 6 x - 3 (x (x^{2} + x))}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Schritt 2.2.8

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2 x^{2} - 6 x - 3 (x \cdot x^{2} + x \cdot x)}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Schritt 2.2.9

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.9.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.9.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2 x^{2} - 6 x - 3 (x^{1} x^{2} + x \cdot x)}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Schritt 2.2.9.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2 x^{2} - 6 x - 3 (x^{1 + 2} + x \cdot x)}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Schritt 2.2.9.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2 x^{2} - 6 x - 3 (x^{3} + x \cdot x)}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Schritt 2.2.10

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2 x^{2} - 6 x - 3 (x^{3} + x^{2})}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Schritt 2.2.11

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2 x^{2} - 6 x - 3 x^{3} - 3 x^{2}}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Schritt 2.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.3.1

Subtrahiere $3 x^{3}$ von $x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 2 x^{2} - 6 x - 3 x^{2}}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $4 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 3 x - 6 x - 3 x^{2}}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Schritt 2.3.3

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{3} - x^{2} + 3 x - 6 x}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Schritt 2.3.4

Subtrahiere $6 x$ von $3 x$ .

$\frac{- 2 x^{3} - x^{2} - 3 x}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Schritt 2.3.5

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x^{3} - x^{2} - 3 x$ heraus.

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Schritt 2.3.5.1

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x^{3}$ heraus.

$\frac{x (- 2 x^{2}) - x^{2} - 3 x}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Schritt 2.3.5.2

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{x (- 2 x^{2}) + x (- x) - 3 x}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Schritt 2.3.5.3

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x$ heraus.

$\frac{x (- 2 x^{2}) + x (- x) + x \cdot - 3}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Schritt 2.3.5.4

Faktorisiere $x$ aus $x (- 2 x^{2}) + x (- x)$ heraus.

$\frac{x (- 2 x^{2} - x) + x \cdot - 3}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Schritt 2.3.5.5

Faktorisiere $x$ aus $x (- 2 x^{2} - x) + x \cdot - 3$ heraus.

$\frac{x (- 2 x^{2} - x - 3)}{x (x + 3) (x^{2} + x)}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + x$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x (- 2 x^{2} - x - 3)}{x (x + 3) (x \cdot x + x)}$

Schritt 3.1.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x (- 2 x^{2} - x - 3)}{x (x + 3) (x \cdot x + x^{1})}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{x (- 2 x^{2} - x - 3)}{x (x + 3) (x \cdot x + x \cdot 1)}$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 1$ heraus.

$\frac{x (- 2 x^{2} - x - 3)}{x (x + 3) (x (x + 1))}$

$\frac{x (- 2 x^{2} - x - 3)}{x (x + 3) x (x + 1)}$

Schritt 3.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x (- 2 x^{2} - x - 3)}{x^{1} x (x + 3) (x + 1)}$

Schritt 3.2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x (- 2 x^{2} - x - 3)}{x^{1} x^{1} (x + 3) (x + 1)}$

Schritt 3.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x (- 2 x^{2} - x - 3)}{x^{1 + 1} (x + 3) (x + 1)}$

Schritt 3.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x (- 2 x^{2} - x - 3)}{x^{2} (x + 3) (x + 1)}$

Schritt 4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (x + 3) (x + 1)$ heraus.

$\frac{x (- 2 x^{2} - x - 3)}{x ((x (x + 3)) (x + 1))}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (- 2 x^{2} - x - 3)}{x ((x (x + 3)) (x + 1))}$

Schritt 4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 x^{2} - x - 3}{(x (x + 3)) (x + 1)}$

Schritt 5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$\frac{- (2 x^{2}) - x - 3}{x (x + 3) (x + 1)}$

Schritt 6

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{- (2 x^{2}) - (x) - 3}{x (x + 3) (x + 1)}$

Schritt 7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{2}) - (x)$ heraus.

$\frac{- (2 x^{2} + x) - 3}{x (x + 3) (x + 1)}$

Schritt 8

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$\frac{- (2 x^{2} + x) - 1 (3)}{x (x + 3) (x + 1)}$

Schritt 9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{2} + x) - 1 (3)$ heraus.

$\frac{- (2 x^{2} + x + 3)}{x (x + 3) (x + 1)}$

Schritt 10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.1

Schreibe $- (2 x^{2} + x + 3)$ als $- 1 (2 x^{2} + x + 3)$ um.

$\frac{- 1 (2 x^{2} + x + 3)}{x (x + 3) (x + 1)}$

Schritt 10.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 x^{2} + x + 3}{x (x + 3) (x + 1)}$