Algebra Beispiele

${(x^{2} - 2)}^{2} + 18 = 9 x^{2} - 18$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $9 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(x^{2} - 2)}^{2} + 18 - 9 x^{2} = - 18$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1

Schreibe ${(x^{2} - 2)}^{2}$ als $(x^{2} - 2) (x^{2} - 2)$ um.

$(x^{2} - 2) (x^{2} - 2) + 18 - 9 x^{2} = - 18$

Schritt 1.2.2

Multipliziere $(x^{2} - 2) (x^{2} - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} (x^{2} - 2) - 2 (x^{2} - 2) + 18 - 9 x^{2} = - 18$

Schritt 1.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 2 - 2 (x^{2} - 2) + 18 - 9 x^{2} = - 18$

Schritt 1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 2 - 2 x^{2} - 2 \cdot - 2 + 18 - 9 x^{2} = - 18$

Schritt 1.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.3.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 2 - 2 x^{2} - 2 \cdot - 2 + 18 - 9 x^{2} = - 18$

Schritt 1.2.3.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$x^{4} + x^{2} \cdot - 2 - 2 x^{2} - 2 \cdot - 2 + 18 - 9 x^{2} = - 18$

Schritt 1.2.3.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$x^{4} - 2 \cdot x^{2} - 2 x^{2} - 2 \cdot - 2 + 18 - 9 x^{2} = - 18$

Schritt 1.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$x^{4} - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 4 + 18 - 9 x^{2} = - 18$

Schritt 1.2.3.2

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $- 2 x^{2}$ .

$x^{4} - 4 x^{2} + 4 + 18 - 9 x^{2} = - 18$

Schritt 1.3

Subtrahiere $9 x^{2}$ von $- 4 x^{2}$ .

$x^{4} - 13 x^{2} + 4 + 18 = - 18$

Schritt 1.4

Addiere $4$ und $18$ .

$x^{4} - 13 x^{2} + 22 = - 18$

Schritt 2

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} - 13 u + 22 = - 18$

$u = x^{2}$

Schritt 3

Addiere $18$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} - 13 u + 22 + 18 = 0$

Schritt 4

Addiere $22$ und $18$ .

$u^{2} - 13 u + 40 = 0$

Schritt 5

Faktorisiere $u^{2} - 13 u + 40$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $40$ und deren Summe $- 13$ ist.

$- 8, - 5$

Schritt 5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 8) (u - 5) = 0$

Schritt 6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 8 = 0$

$u - 5 = 0$

Schritt 7

Setze $u - 8$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $u - 8$ gleich $0$ .

$u - 8 = 0$

Schritt 7.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 8$

Schritt 8

Setze $u - 5$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $u - 5$ gleich $0$ .

$u - 5 = 0$

Schritt 8.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 5$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 8) (u - 5) = 0$ wahr machen.

$u = 8, 5$

Schritt 10

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = 8$

${(x^{2})}^{1} = 5$

Schritt 11

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = 8$

Schritt 12

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{8}$

Schritt 12.2

Vereinfache $\pm \sqrt{8}$ .

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Schritt 12.2.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 12.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \pm \sqrt{4 (2)}$

Schritt 12.2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Schritt 12.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm 2 \sqrt{2}$

Schritt 12.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 12.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2 \sqrt{2}$

Schritt 12.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2 \sqrt{2}$

Schritt 12.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Schritt 13

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = 5$

Schritt 14

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 14.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = 5$

Schritt 14.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{5}$

Schritt 14.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 14.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{5}$

Schritt 14.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{5}$

Schritt 14.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Schritt 15

Die Lösung von $x^{4} - 13 x^{2} + 22 = - 18$ ist $x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$ .

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Schritt 16

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Dezimalform:

$x = 2.82842712 \dots, - 2.82842712 \dots, 2.23606797 \dots, - 2.23606797 \dots$