Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} - 25}{x^{2} - 10 x + 25} \div \frac{x^{2} + 10 x + 25}{2 x - 10}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{x^{2} - 25}{x^{2} - 10 x + 25} \cdot \frac{2 x - 10}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 5^{2}}{x^{2} - 10 x + 25} \cdot \frac{2 x - 10}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2} - 10 x + 25} \cdot \frac{2 x - 10}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2} - 10 x + 5^{2}} \cdot \frac{2 x - 10}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 3.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Schritt 3.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}} \cdot \frac{2 x - 10}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 3.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 5$ .

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{2 x - 10}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x - 5$ und ${(x - 5)}^{2}$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $x - 5$ aus $(x + 5) (x - 5)$ heraus.

$\frac{(x - 5) (x + 5)}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{2 x - 10}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $x - 5$ aus ${(x - 5)}^{2}$ heraus.

$\frac{(x - 5) (x + 5)}{(x - 5) (x - 5)} \cdot \frac{2 x - 10}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 5) (x + 5)}{(x - 5) (x - 5)} \cdot \frac{2 x - 10}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 5}{x - 5} \cdot \frac{2 x - 10}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 5

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 10$ heraus.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{x + 5}{x - 5} \cdot \frac{2 (x) - 10}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$\frac{x + 5}{x - 5} \cdot \frac{2 x + 2 \cdot - 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot - 5$ heraus.

$\frac{x + 5}{x - 5} \cdot \frac{2 (x - 5)}{x^{2} + 10 x + 25}$

Schritt 6

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 6.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{x + 5}{x - 5} \cdot \frac{2 (x - 5)}{x^{2} + 10 x + 5^{2}}$

Schritt 6.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Schritt 6.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{x + 5}{x - 5} \cdot \frac{2 (x - 5)}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}}$

Schritt 6.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 5$ .

$\frac{x + 5}{x - 5} \cdot \frac{2 (x - 5)}{{(x + 5)}^{2}}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 5$ .

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x + 5$ aus ${(x + 5)}^{2}$ heraus.

$\frac{x + 5}{x - 5} \cdot \frac{2 (x - 5)}{(x + 5) (x + 5)}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + 5}{x - 5} \cdot \frac{2 (x - 5)}{(x + 5) (x + 5)}$

Schritt 7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x - 5} \cdot \frac{2 (x - 5)}{x + 5}$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 5$ .

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Schritt 8.1

Faktorisiere $x - 5$ aus $2 (x - 5)$ heraus.

$\frac{1}{x - 5} \cdot \frac{(x - 5) \cdot 2}{x + 5}$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x - 5} \cdot \frac{(x - 5) \cdot 2}{x + 5}$

Schritt 8.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{x + 5}$