Algebra Beispiele

$f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ on the domain $x > 0$

Schritt 1

Ermittele den Wertebereich der gegebenen Funktion.

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Schritt 1.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

$(- \infty, \infty)$

Schritt 1.2

Wandle $(- \infty, \infty)$ in eine Ungleichung um.

$- \infty < y < \infty$

Schritt 2

Ermittle die Umkehrfunktion.

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Schritt 2.1

Vertausche die Variablen.

$x = {(3 y)}^{- \frac{2}{3}}$

Schritt 2.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.2.1

Schreibe die Gleichung als ${(3 y)}^{- \frac{2}{3}} = x$ um.

${(3 y)}^{- \frac{2}{3}} = x$

Schritt 2.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $- \frac{3}{2}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(3 y)}^{- \frac{2}{3}})}^{- \frac{3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.3.1.1

Vereinfache ${({(3 y)}^{- \frac{2}{3}})}^{- \frac{3}{2}}$ .

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Schritt 2.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 y)}^{- \frac{2}{3}})}^{- \frac{3}{2}}$ .

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Schritt 2.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 y)}^{- \frac{2}{3} (- \frac{3}{2})} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Schritt 2.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.3.1.1.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{3}$ in den Zähler.

${(3 y)}^{\frac{- 2}{3} (- \frac{3}{2})} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Schritt 2.2.3.1.1.1.2.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{2}$ in den Zähler.

${(3 y)}^{\frac{- 2}{3} \cdot \frac{- 3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Schritt 2.2.3.1.1.1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

${(3 y)}^{\frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Schritt 2.2.3.1.1.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 y)}^{\frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Schritt 2.2.3.1.1.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

${(3 y)}^{\frac{- 1}{3} \cdot - 3} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Schritt 2.2.3.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.3.1.1.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

${(3 y)}^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 1))} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Schritt 2.2.3.1.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 y)}^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Schritt 2.2.3.1.1.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

${(3 y)}^{- - 1} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Schritt 2.2.3.1.1.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

${(3 y)}^{1} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Schritt 2.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$3 y = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 y = \pm \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$3 y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Schritt 2.2.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Schritt 2.2.4.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Schritt 2.2.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.4.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 2.2.4.2.3.2

Kombinieren.

$y = \frac{1 \cdot 1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}$

Schritt 2.2.4.2.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.4.2.3.3.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}$

Schritt 2.2.4.2.3.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$3 y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.4

Teile jeden Ausdruck in $3 y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Schritt 2.2.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Schritt 2.2.4.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Schritt 2.2.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.4.4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 2.2.4.4.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2.4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3

Ermittele die Inverse mithilfe des Definitions- und Wertebereichs der ursprünglichen Funktion.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \infty < x < \infty$

Schritt 4