Algebra Beispiele

$3 = \tan (2 x - π)$ in $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{4})$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\tan (2 x - π) = 3$ um.

$\tan (2 x - π) = 3$

Schritt 2

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$2 x - π = \arctan (3)$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Berechne $\arctan (3)$ .

$2 x - π = 1.24904577$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Addiere $π$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1.24904577 + π$

Schritt 4.2

Ersetze durch dezimale Näherung.

$2 x = 1.24904577 + 3.14159265$

Schritt 4.3

Addiere $1.24904577$ und $3.14159265$ .

$2 x = 4.39063842$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 4.39063842$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 4.39063842$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{4.39063842}{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{4.39063842}{2}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4.39063842}{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Dividiere $4.39063842$ durch $2$ .

$x = 2.19531921$

Schritt 6

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$2 x - π = (3.14159265) + 1.24904577$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Addiere $3.14159265$ und $1.24904577$ .

$2 x - π = 4.39063842$

Schritt 7.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.2.1

Addiere $π$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 4.39063842 + π$

Schritt 7.2.2

Ersetze durch dezimale Näherung.

$2 x = 4.39063842 + 3.14159265$

Schritt 7.2.3

Addiere $4.39063842$ und $3.14159265$ .

$2 x = 7.53223107$

Schritt 7.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 7.53223107$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 7.53223107$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{7.53223107}{2}$

Schritt 7.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{7.53223107}{2}$

Schritt 7.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{7.53223107}{2}$

Schritt 7.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.3.1

Dividiere $7.53223107$ durch $2$ .

$x = 3.76611553$

Schritt 8

Ermittele die Periode von $\tan (2 x - π)$ .

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Schritt 8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 8.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 2 |}$

Schritt 8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{π}{2}$

Schritt 9

Die Periode der Funktion $\tan (2 x - π)$ ist $\frac{π}{2}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{π}{2}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2.19531921 + \frac{π n}{2}, 3.76611553 + \frac{π n}{2}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 10

Bestimme die Werte von $n$ , die einen Wert innerhalb des Intervalls $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{4})$ ergeben.

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Schritt 10.1

Setze $- 1$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{4})$ enthalten ist.

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Schritt 10.1.1

Setze $- 1$ für $n$ ein.

$3.76611553 + \frac{π (- 1)}{2}$

Schritt 10.1.2

Vereinfache.

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Schritt 10.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.2.1.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $π$ .

$3.76611553 + \frac{- 1 \cdot π}{2}$

Schritt 10.1.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3.76611553 - \frac{π}{2}$

Schritt 10.1.2.2

Subtrahiere $\frac{π}{2}$ von $3.76611553$ .

$2.19531921$

Schritt 10.1.3

Das Intervall $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{4})$ enthält $2.19531921$ .

$x = 2.19531921$

Schritt 10.2

Setze $0$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{4})$ enthalten ist.

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Schritt 10.2.1

Setze $0$ für $n$ ein.

$2.19531921 + \frac{π (0)}{2}$

Schritt 10.2.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 10.2.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $π (0)$ heraus.

$2.19531921 + \frac{2 (π \cdot (0))}{2}$

Schritt 10.2.2.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.2.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2.19531921 + \frac{2 (π \cdot (0))}{2 (1)}$

Schritt 10.2.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2.19531921 + \frac{2 (π \cdot (0))}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.2.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2.19531921 + \frac{π \cdot (0)}{1}$

Schritt 10.2.2.1.1.2.4

Dividiere $π \cdot (0)$ durch $1$ .

$2.19531921 + π \cdot (0)$

Schritt 10.2.2.1.2

Mutltipliziere $π$ mit $0$ .

$2.19531921 + 0$

Schritt 10.2.2.2

Addiere $2.19531921$ und $0$ .

$2.19531921$

Schritt 10.2.3

Das Intervall $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{4})$ enthält $2.19531921$ .

$x = 2.19531921, 2.19531921$