Algebra Beispiele

${(1 - \tan (x))}^{2} = \sec^{2} (x) - 2 \tan (x)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache ${(1 - \tan (x))}^{2}$ .

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

${(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} = \sec^{2} (x) - 2 \tan (x)$

Schritt 1.1.2

Schreibe ${(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$ als $(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ um.

$(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) = \sec^{2} (x) - 2 \tan (x)$

Schritt 1.1.3

Multipliziere $(1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) = \sec^{2} (x) - 2 \tan (x)$

Schritt 1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot 1 + 1 (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) = \sec^{2} (x) - 2 \tan (x)$

Schritt 1.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot 1 + 1 (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) = \sec^{2} (x) - 2 \tan (x)$

Schritt 1.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$1 + 1 (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) = \sec^{2} (x) - 2 \tan (x)$

Schritt 1.1.4.1.2

Mutltipliziere $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ mit $1$ .

$1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) = \sec^{2} (x) - 2 \tan (x)$

Schritt 1.1.4.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) = \sec^{2} (x) - 2 \tan (x)$

Schritt 1.1.4.1.4

Multipliziere $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ .

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Schritt 1.1.4.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \sec^{2} (x) - 2 \tan (x)$

Schritt 1.1.4.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ mit $1$ .

$1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \sec^{2} (x) - 2 \tan (x)$

Schritt 1.1.4.1.4.3

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ mit $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} = \sec^{2} (x) - 2 \tan (x)$

Schritt 1.1.4.1.4.4

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} = \sec^{2} (x) - 2 \tan (x)$

Schritt 1.1.4.1.4.5

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) \cos (x)} = \sec^{2} (x) - 2 \tan (x)$

Schritt 1.1.4.1.4.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)} = \sec^{2} (x) - 2 \tan (x)$

Schritt 1.1.4.1.4.7

Addiere $1$ und $1$ .

$1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} = \sec^{2} (x) - 2 \tan (x)$

Schritt 1.1.4.1.4.8

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} = \sec^{2} (x) - 2 \tan (x)$

Schritt 1.1.4.1.4.9

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} = \sec^{2} (x) - 2 \tan (x)$

Schritt 1.1.4.1.4.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} = \sec^{2} (x) - 2 \tan (x)$

Schritt 1.1.4.1.4.11

Addiere $1$ und $1$ .

$1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \sec^{2} (x) - 2 \tan (x)$

Schritt 1.1.4.2

Subtrahiere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ von $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$1 - 2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \sec^{2} (x) - 2 \tan (x)$

Schritt 1.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.5.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$1 + \frac{- 2 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \sec^{2} (x) - 2 \tan (x)$

Schritt 1.1.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \sec^{2} (x) - 2 \tan (x)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$1 - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 2 \tan (x)$

Schritt 2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$1 - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 2 \tan (x)$

Schritt 2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)} - 2 \tan (x)$

Schritt 2.1.4

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$1 - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)} - 2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 2.1.5

Kombiniere $- 2$ und $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$1 - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- 2 \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\cos (x)$ .

$\cos (x) (1 - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) = \cos (x) (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)})$

Schritt 4

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}) + \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \cos (x) (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)})$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) + \cos (x) (- \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}) + \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \cos (x) (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)})$

Schritt 5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\cos (x) - \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \cos (x) (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)})$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$\cos (x) - \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} = \cos (x) (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)})$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) - \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} = \cos (x) (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)})$

Schritt 5.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) - \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)})$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $- \cos (x)$ heraus.

$\cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)})$

Schritt 6.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)})$

Schritt 6.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) - (2 \sin (x)) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)})$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\cos (x) - 2 \sin (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) (\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)})$

Schritt 7

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) - 2 \sin (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) (- \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)})$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 8.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$\cos (x) - 2 \sin (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) (- \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)})$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) - 2 \sin (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x) (- \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)})$

Schritt 8.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) - 2 \sin (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)})$

Schritt 9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\cos (x) - 2 \sin (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 10.1.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $- \cos (x)$ heraus.

$\cos (x) - 2 \sin (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 1 \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 10.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) - 2 \sin (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 1 \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 10.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) - 2 \sin (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)} - (2 \sin (x))$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\cos (x) - 2 \sin (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)} - 2 \sin (x)$

Schritt 11

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 11.1

Subtrahiere $\frac{1}{\cos (x)}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (x) - 2 \sin (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)} = - 2 \sin (x)$

Schritt 11.2

Addiere $2 \sin (x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (x) - 2 \sin (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)} + 2 \sin (x) = 0$

Schritt 12

Vereinfache $\cos (x) - 2 \sin (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)} + 2 \sin (x)$ .

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Schritt 12.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\cos (x) - 2 \sin (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)} + 2 \sin (x)$ .

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Schritt 12.1.1

Addiere $- 2 \sin (x)$ und $2 \sin (x)$ .

$\cos (x) + 0 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)} = 0$

Schritt 12.1.2

Addiere $\cos (x)$ und $0$ .

$\cos (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)} = 0$

Schritt 12.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\cos (x) + \frac{\sin^{2} (x) - 1}{\cos (x)} = 0$

Schritt 12.3

Stelle $\sin^{2} (x)$ und $- 1$ um.

$\cos (x) + \frac{- 1 + \sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Schritt 12.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\cos (x) + \frac{- 1 (1) + \sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Schritt 12.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$\cos (x) + \frac{- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))}{\cos (x)} = 0$

Schritt 12.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ heraus.

$\cos (x) + \frac{- 1 (1 - \sin^{2} (x))}{\cos (x)} = 0$

Schritt 12.7

Schreibe $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ als $- (1 - \sin^{2} (x))$ um.

$\cos (x) + \frac{- (1 - \sin^{2} (x))}{\cos (x)} = 0$

Schritt 12.8

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\cos (x) + \frac{- \cos^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Schritt 12.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\cos^{2} (x)$ und $\cos (x)$ .

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Schritt 12.9.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $- \cos^{2} (x)$ heraus.

$\cos (x) + \frac{\cos (x) (- \cos (x))}{\cos (x)} = 0$

Schritt 12.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.9.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\cos (x) + \frac{\cos (x) (- \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1} = 0$

Schritt 12.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) + \frac{\cos (x) (- \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1} = 0$

Schritt 12.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) + \frac{- \cos (x)}{1} = 0$

Schritt 12.9.2.4

Dividiere $- \cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) - \cos (x) = 0$

Schritt 12.10

Subtrahiere $\cos (x)$ von $\cos (x)$ .

$0 = 0$

Schritt 13

Da $0 = 0$ , ist die Gleichung immer erfüllt.

Immer wahr

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Immer wahr

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$