Algebra Beispiele

$\frac{x + 3}{{(x - 4)}^{2} (x^{2} - 4)} \leq 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x + 3 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

$x^{2} - 4 = 0$

Schritt 2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 3

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 4

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 5

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 4$

Schritt 6

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 7

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 7.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 7.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 8

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 8.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 8.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 8.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$

Schritt 9

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = - 3$

$x = 4$

$x = 2, - 2$

Schritt 10

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - 3, 4, 2, - 2$

Schritt 11

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x + 3}{{(x - 4)}^{2} (x^{2} - 4)}$ .

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Schritt 11.1

Setze den Nenner in $\frac{x + 3}{{(x - 4)}^{2} (x^{2} - 4)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x - 4)}^{2} (x^{2} - 4) = 0$

Schritt 11.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

$x^{2} - 4 = 0$

Schritt 11.2.2

Setze ${(x - 4)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.2.1

Setze ${(x - 4)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Schritt 11.2.2.2

Löse ${(x - 4)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.2.2.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 11.2.2.2.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 11.2.3

Setze $x^{2} - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.3.1

Setze $x^{2} - 4$ gleich $0$ .

$x^{2} - 4 = 0$

Schritt 11.2.3.2

Löse $x^{2} - 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.3.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 4$

Schritt 11.2.3.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 11.2.3.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 11.2.3.2.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 11.2.3.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 11.2.3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 11.2.3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 11.2.3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 11.2.3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$

Schritt 11.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(x - 4)}^{2} (x^{2} - 4) = 0$ wahr machen.

$x = 4, 2, - 2$

Schritt 11.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, 4) \cup (4, \infty)$

Schritt 12

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 3$

$- 3 < x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$2 < x < 4$

$x > 4$

Schritt 13

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 13.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 13.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 13.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 6) + 3}{{((- 6) - 4)}^{2} ({(- 6)}^{2} - 4)} \leq 0$

Schritt 13.1.3

Die linke Seite $- 0.0009375$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 13.2

Teste einen Wert im Intervall $- 3 < x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 13.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 3 < x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2.5$

Schritt 13.2.2

Ersetze $x$ durch $- 2.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 2.5) + 3}{{((- 2.5) - 4)}^{2} ({(- 2.5)}^{2} - 4)} \leq 0$

Schritt 13.2.3

Die linke Seite $0.00525969$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 13.3

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 13.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 13.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(0) + 3}{{((0) - 4)}^{2} ({(0)}^{2} - 4)} \leq 0$

Schritt 13.3.3

Die linke Seite $- 0.046875$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 13.4

Teste einen Wert im Intervall $2 < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 13.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $2 < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 13.4.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(3) + 3}{{((3) - 4)}^{2} ({(3)}^{2} - 4)} \leq 0$

Schritt 13.4.3

Die linke Seite $1.2$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 13.5

Teste einen Wert im Intervall $x > 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 13.5.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 13.5.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(6) + 3}{{((6) - 4)}^{2} ({(6)}^{2} - 4)} \leq 0$

Schritt 13.5.3

Die linke Seite $0.0703125$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 13.6

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < - 2$ Falsch

$- 2 < x < 2$ Wahr

$2 < x < 4$ Falsch

$x > 4$ Falsch

$x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < - 2$ Falsch

$- 2 < x < 2$ Wahr

$2 < x < 4$ Falsch

$x > 4$ Falsch

Schritt 14

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - 3$ oder $- 2 < x < 2$

Schritt 15

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x \leq - 3 or - 2 < x < 2$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 3] \cup (- 2, 2)$

Schritt 16