Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} - x - 6}{2 x^{2} + x - 6} \cdot \frac{2 x^{2} + 5 x - 12}{x^{2} - 9}$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{2} - x - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 3, 2$

Schritt 1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{2 x^{2} + x - 6} \cdot \frac{2 x^{2} + 5 x - 12}{x^{2} - 9}$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 6 = - 12$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 2.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{2 x^{2} + 1 x - 6} \cdot \frac{2 x^{2} + 5 x - 12}{x^{2} - 9}$

Schritt 2.1.2

Schreibe $1$ um als $- 3$ plus $4$

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{2 x^{2} + (- 3 + 4) x - 6} \cdot \frac{2 x^{2} + 5 x - 12}{x^{2} - 9}$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{2 x^{2} - 3 x + 4 x - 6} \cdot \frac{2 x^{2} + 5 x - 12}{x^{2} - 9}$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{(2 x^{2} - 3 x) + 4 x - 6} \cdot \frac{2 x^{2} + 5 x - 12}{x^{2} - 9}$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{x (2 x - 3) + 2 (2 x - 3)} \cdot \frac{2 x^{2} + 5 x - 12}{x^{2} - 9}$

Schritt 2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 3$ .

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{(2 x - 3) (x + 2)} \cdot \frac{2 x^{2} + 5 x - 12}{x^{2} - 9}$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 12 = - 24$ und deren Summe gleich $b = 5$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{(2 x - 3) (x + 2)} \cdot \frac{2 x^{2} + 5 (x) - 12}{x^{2} - 9}$

Schritt 3.1.2

Schreibe $5$ um als $- 3$ plus $8$

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{(2 x - 3) (x + 2)} \cdot \frac{2 x^{2} + (- 3 + 8) x - 12}{x^{2} - 9}$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{(2 x - 3) (x + 2)} \cdot \frac{2 x^{2} - 3 x + 8 x - 12}{x^{2} - 9}$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{(2 x - 3) (x + 2)} \cdot \frac{(2 x^{2} - 3 x) + 8 x - 12}{x^{2} - 9}$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{(2 x - 3) (x + 2)} \cdot \frac{x (2 x - 3) + 4 (2 x - 3)}{x^{2} - 9}$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 3$ .

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{(2 x - 3) (x + 2)} \cdot \frac{(2 x - 3) (x + 4)}{x^{2} - 9}$

Schritt 4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{(2 x - 3) (x + 2)} \cdot \frac{(2 x - 3) (x + 4)}{x^{2} - 3^{2}}$

Schritt 4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{(2 x - 3) (x + 2)} \cdot \frac{(2 x - 3) (x + 4)}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 3$ .

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $x - 3$ aus $(x + 3) (x - 3)$ heraus.

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{(2 x - 3) (x + 2)} \cdot \frac{(2 x - 3) (x + 4)}{(x - 3) (x + 3)}$

Schritt 5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{(2 x - 3) (x + 2)} \cdot \frac{(2 x - 3) (x + 4)}{(x - 3) (x + 3)}$

Schritt 5.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 2}{(2 x - 3) (x + 2)} \cdot \frac{(2 x - 3) (x + 4)}{x + 3}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x - 3$ .

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + 2}{(2 x - 3) (x + 2)} \cdot \frac{(2 x - 3) (x + 4)}{x + 3}$

Schritt 5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 2}{x + 2} \cdot \frac{x + 4}{x + 3}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $\frac{x + 2}{x + 2}$ mit $\frac{x + 4}{x + 3}$ .

$\frac{(x + 2) (x + 4)}{(x + 2) (x + 3)}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 2) (x + 4)}{(x + 2) (x + 3)}$

Schritt 5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 4}{x + 3}$