Algebra Beispiele

$6 d^{\frac{2}{3}} - 11 d^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe $d^{\frac{2}{3}}$ als ${(d^{\frac{1}{3}})}^{2}$ um.

$6 {(d^{\frac{1}{3}})}^{2} - 11 d^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

Schritt 1.2

Es sei $u = d^{\frac{1}{3}}$ . Ersetze $u$ für alle $d^{\frac{1}{3}}$ .

$6 u^{2} - 11 u - 2 = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 6 \cdot - 2 = - 12$ und deren Summe gleich $b = - 11$ ist.

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $- 11$ aus $- 11 u$ heraus.

$6 u^{2} - 11 u - 2 = 0$

Schritt 1.3.1.2

Schreibe $- 11$ um als $1$ plus $- 12$

$6 u^{2} + (1 - 12) u - 2 = 0$

Schritt 1.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 u^{2} + 1 u - 12 u - 2 = 0$

Schritt 1.3.1.4

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$6 u^{2} + u - 12 u - 2 = 0$

Schritt 1.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(6 u^{2} + u) - 12 u - 2 = 0$

Schritt 1.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (6 u + 1) - 2 (6 u + 1) = 0$

Schritt 1.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $6 u + 1$ .

$(6 u + 1) (u - 2) = 0$

Schritt 1.4

Ersetze alle $u$ durch $d^{\frac{1}{3}}$ .

$(6 d^{\frac{1}{3}} + 1) (d^{\frac{1}{3}} - 2) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$6 d^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$

$d^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

Schritt 3

Setze $6 d^{\frac{1}{3}} + 1$ gleich $0$ und löse nach $d$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $6 d^{\frac{1}{3}} + 1$ gleich $0$ .

$6 d^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$

Schritt 3.2

Löse $6 d^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$ nach $d$ auf.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 d^{\frac{1}{3}} = - 1$

Schritt 3.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(6 d^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.3.1.1

Vereinfache ${(6 d^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.2.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $6 d^{\frac{1}{3}}$ an.

$6^{3} {(d^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 3.2.3.1.1.2

Potenziere $6$ mit $3$ .

$216 {(d^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 3.2.3.1.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(d^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.2.3.1.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$216 d^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 3.2.3.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.3.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$216 d^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 3.2.3.1.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$216 d^{1} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 3.2.3.1.1.4

Vereinfache.

$216 d = {(- 1)}^{3}$

Schritt 3.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.2.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$216 d = - 1$

Schritt 3.2.4

Teile jeden Ausdruck in $216 d = - 1$ durch $216$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $216 d = - 1$ durch $216$ .

$\frac{216 d}{216} = \frac{- 1}{216}$

Schritt 3.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $216$ .

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Schritt 3.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{216 d}{216} = \frac{- 1}{216}$

Schritt 3.2.4.2.1.2

Dividiere $d$ durch $1$ .

$d = \frac{- 1}{216}$

Schritt 3.2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{1}{216}$

Schritt 4

Setze $d^{\frac{1}{3}} - 2$ gleich $0$ und löse nach $d$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $d^{\frac{1}{3}} - 2$ gleich $0$ .

$d^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

Schritt 4.2

Löse $d^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$ nach $d$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$d^{\frac{1}{3}} = 2$

Schritt 4.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(d^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{3}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.3.1.1

Vereinfache ${(d^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(d^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$d^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Schritt 4.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Schritt 4.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d^{1} = 2^{3}$

Schritt 4.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$d = 2^{3}$

Schritt 4.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.2.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$d = 8$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(6 d^{\frac{1}{3}} + 1) (d^{\frac{1}{3}} - 2) = 0$ wahr machen.

$d = - \frac{1}{216}, 8$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$d = - \frac{1}{216}, 8$

Dezimalform:

$d = - 0.004\overline{629}, 8$