Algebra Beispiele

$\frac{9 x}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x^{2} + 5 x}{2 x - 4} \cdot \frac{x^{2} + 3 x - 10}{3 x^{4}}$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{2} + 3 x - 10$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 10$ und deren Summe $3$ ist.

$- 2, 5$

Schritt 1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{9 x}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x^{2} + 5 x}{2 x - 4} \cdot \frac{(x - 2) (x + 5)}{3 x^{4}}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{9 x}{x^{2} - 5^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 5 x}{2 x - 4} \cdot \frac{(x - 2) (x + 5)}{3 x^{4}}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$\frac{9 x}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{x^{2} + 5 x}{2 x - 4} \cdot \frac{(x - 2) (x + 5)}{3 x^{4}}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + 5 x$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{9 x}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{x \cdot x + 5 x}{2 x - 4} \cdot \frac{(x - 2) (x + 5)}{3 x^{4}}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $x$ aus $5 x$ heraus.

$\frac{9 x}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{x \cdot x + x \cdot 5}{2 x - 4} \cdot \frac{(x - 2) (x + 5)}{3 x^{4}}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 5$ heraus.

$\frac{9 x}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{x (x + 5)}{2 x - 4} \cdot \frac{(x - 2) (x + 5)}{3 x^{4}}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 4$ heraus.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{9 x}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{x (x + 5)}{2 (x) - 4} \cdot \frac{(x - 2) (x + 5)}{3 x^{4}}$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{9 x}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{x (x + 5)}{2 x + 2 \cdot - 2} \cdot \frac{(x - 2) (x + 5)}{3 x^{4}}$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot - 2$ heraus.

$\frac{9 x}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{x (x + 5)}{2 (x - 2)} \cdot \frac{(x - 2) (x + 5)}{3 x^{4}}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 5$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $x + 5$ aus $x (x + 5)$ heraus.

$\frac{9 x}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 5) x}{2 (x - 2)} \cdot \frac{(x - 2) (x + 5)}{3 x^{4}}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 x}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{(x + 5) x}{2 (x - 2)} \cdot \frac{(x - 2) (x + 5)}{3 x^{4}}$

Schritt 3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9 x}{x - 5} \cdot \frac{x}{2 (x - 2)} \cdot \frac{(x - 2) (x + 5)}{3 x^{4}}$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $\frac{9 x}{x - 5}$ mit $\frac{x}{2 (x - 2)}$ .

$\frac{9 x \cdot x}{(x - 5) (2 (x - 2))} \cdot \frac{(x - 2) (x + 5)}{3 x^{4}}$

Schritt 4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{9 (x^{1} x)}{(x - 5) (2 (x - 2))} \cdot \frac{(x - 2) (x + 5)}{3 x^{4}}$

Schritt 5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{9 (x^{1} x^{1})}{(x - 5) (2 (x - 2))} \cdot \frac{(x - 2) (x + 5)}{3 x^{4}}$

Schritt 6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{9 x^{1 + 1}}{(x - 5) (2 (x - 2))} \cdot \frac{(x - 2) (x + 5)}{3 x^{4}}$

Schritt 7

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{9 x^{2}}{(x - 5) (2 (x - 2))} \cdot \frac{(x - 2) (x + 5)}{3 x^{4}}$

Schritt 8

Kombinieren.

$\frac{9 x^{2} ((x - 2) (x + 5))}{(x - 5) (2 (x - 2)) (3 x^{4})}$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $3$ .

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Schritt 9.1

Faktorisiere $3$ aus $9 x^{2} ((x - 2) (x + 5))$ heraus.

$\frac{3 (3 x^{2} ((x - 2) (x + 5)))}{(x - 5) (2 (x - 2)) (3 x^{4})}$

Schritt 9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $3$ aus $(x - 5) (2 (x - 2)) (3 x^{4})$ heraus.

$\frac{3 (3 x^{2} ((x - 2) (x + 5)))}{3 ((x - 5) (2 (x - 2)) (x^{4}))}$

Schritt 9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (3 x^{2} ((x - 2) (x + 5)))}{3 ((x - 5) (2 (x - 2)) (x^{4}))}$

Schritt 9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x^{2} ((x - 2) (x + 5))}{(x - 5) (2 (x - 2)) (x^{4})}$

Schritt 10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{4}$ .

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Schritt 10.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{2} ((x - 2) (x + 5))$ heraus.

$\frac{x^{2} (3 ((x - 2) (x + 5)))}{(x - 5) (2 (x - 2)) (x^{4})}$

Schritt 10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $(x - 5) (2 (x - 2)) (x^{4})$ heraus.

$\frac{x^{2} (3 ((x - 2) (x + 5)))}{x^{2} ((x - 5) (2 (x - 2)) (x^{2}))}$

Schritt 10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} (3 ((x - 2) (x + 5)))}{x^{2} ((x - 5) (2 (x - 2)) (x^{2}))}$

Schritt 10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 ((x - 2) (x + 5))}{(x - 5) (2 (x - 2)) (x^{2})}$

Schritt 11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 ((x - 2) (x + 5))}{(x - 5) (2 (x - 2)) x^{2}}$

Schritt 11.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 (x + 5)}{((x - 5) \cdot (2)) (x^{2})}$

Schritt 12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 12.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x - 5$ .

$\frac{3 (x + 5)}{2 \cdot (x - 5) x^{2}}$

Schritt 12.2

Stelle die Faktoren in $\frac{3 (x + 5)}{2 (x - 5) x^{2}}$ um.

$\frac{3 (x + 5)}{2 x^{2} (x - 5)}$