Algebra Beispiele

$\cos (\frac{2}{3} x - \frac{π}{2}) - 1 = 0$

Schritt 1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (\frac{2}{3} x - \frac{π}{2}) = 1$

Schritt 2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$\frac{2}{3} x - \frac{π}{2} = \arccos (1)$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{3} - \frac{π}{2} = \arccos (1)$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Der genau Wert von $\arccos (1)$ ist $0$ .

$\frac{2 x}{3} - \frac{π}{2} = 0$

Schritt 5

Addiere $\frac{π}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{2 x}{3} = \frac{π}{2}$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 7

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 7.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.1.1

Vereinfache $\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3}$ .

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Schritt 7.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 7.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 7.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{1}{2} (2 (x)) = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 7.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 7.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 8

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$\frac{2 x}{3} - \frac{π}{2} = 2 π - 0$

Schritt 9

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Subtrahiere $0$ von $2 π$ .

$\frac{2 x}{3} - \frac{π}{2} = 2 π$

Schritt 9.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.2.1

Addiere $\frac{π}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{2 x}{3} = 2 π + \frac{π}{2}$

Schritt 9.2.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x}{3} = 2 π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Schritt 9.2.3

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x}{3} = \frac{2 π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Schritt 9.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x}{3} = \frac{2 π \cdot 2 + π}{2}$

Schritt 9.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 x}{3} = \frac{4 π + π}{2}$

Schritt 9.2.5.2

Addiere $4 π$ und $π$ .

$\frac{2 x}{3} = \frac{5 π}{2}$

Schritt 9.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{5 π}{2}$

Schritt 9.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 9.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.4.1.1

Vereinfache $\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3}$ .

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Schritt 9.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.4.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{5 π}{2}$

Schritt 9.4.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{5 π}{2}$

Schritt 9.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.4.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{1}{2} (2 (x)) = \frac{3}{2} \cdot \frac{5 π}{2}$

Schritt 9.4.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{5 π}{2}$

Schritt 9.4.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{5 π}{2}$

Schritt 9.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.4.2.1

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot \frac{5 π}{2}$ .

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Schritt 9.4.2.1.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{5 π}{2}$ .

$x = \frac{3 (5 π)}{2 \cdot 2}$

Schritt 9.4.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$x = \frac{15 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 9.4.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{15 π}{4}$

Schritt 10

Ermittele die Periode von $\cos (\frac{2}{3} x - \frac{π}{2})$ .

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Schritt 10.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 10.2

Ersetze $b$ durch $\frac{2}{3}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{2}{3} |}$

Schritt 10.3

$\frac{2}{3}$ ist ungefähr $0.\overline{6}$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{2}{3}}$

Schritt 10.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{3}{2}$

Schritt 10.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$2 (π) \frac{3}{2}$

Schritt 10.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 π \frac{3}{2}$

Schritt 10.5.3

Forme den Ausdruck um.

$π \cdot 3$

Schritt 10.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$3 π$

Schritt 11

Die Periode der Funktion $\cos (\frac{2}{3} x - \frac{π}{2})$ ist $3 π$ , d. h., Werte werden sich alle $3 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{4} + 3 π n, \frac{15 π}{4} + 3 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 12

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{3 π}{4} + 3 π n$ , für jede Ganzzahl $n$