Algebra Beispiele

$y = (- 10 + 5 s) (- 9 + 9 s)$

Schritt 1

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $(- 10 + 5 x) (- 9 + 9 x)$ an.

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Schritt 1.1.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.1.1

Multipliziere $(- 10 + 5 x) (- 9 + 9 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 10 (- 9 + 9 x) + 5 x (- 9 + 9 x)$

Schritt 1.1.1.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 10 \cdot - 9 - 10 (9 x) + 5 x (- 9 + 9 x)$

Schritt 1.1.1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 10 \cdot - 9 - 10 (9 x) + 5 x \cdot - 9 + 5 x (9 x)$

Schritt 1.1.1.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.1.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.1.2.1.1

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 9$ .

$90 - 10 (9 x) + 5 x \cdot - 9 + 5 x (9 x)$

Schritt 1.1.1.1.2.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 10$ .

$90 - 90 x + 5 x \cdot - 9 + 5 x (9 x)$

Schritt 1.1.1.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $5$ .

$90 - 90 x - 45 x + 5 x (9 x)$

Schritt 1.1.1.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$90 - 90 x - 45 x + 5 \cdot 9 x \cdot x$

Schritt 1.1.1.1.2.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.1.1.2.1.5.1

Bewege $x$ .

$90 - 90 x - 45 x + 5 \cdot 9 (x \cdot x)$

Schritt 1.1.1.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$90 - 90 x - 45 x + 5 \cdot 9 x^{2}$

Schritt 1.1.1.1.2.1.6

Mutltipliziere $5$ mit $9$ .

$90 - 90 x - 45 x + 45 x^{2}$

Schritt 1.1.1.1.2.2

Subtrahiere $45 x$ von $- 90 x$ .

$90 - 135 x + 45 x^{2}$

Schritt 1.1.1.1.3

Bewege $90$ .

$- 135 x + 45 x^{2} + 90$

Schritt 1.1.1.1.4

Stelle $- 135 x$ und $45 x^{2}$ um.

$45 x^{2} - 135 x + 90$

Schritt 1.1.1.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 45$

$b = - 135$

$c = 90$

Schritt 1.1.1.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.1.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.1.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 135}{2 \cdot 45}$

Schritt 1.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 135$ und $45$ .

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Schritt 1.1.1.4.2.1.1

Faktorisiere $45$ aus $- 135$ heraus.

$d = \frac{45 \cdot - 3}{2 \cdot 45}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.1.4.2.1.2.1

Faktorisiere $45$ aus $2 \cdot 45$ heraus.

$d = \frac{45 \cdot - 3}{45 \cdot 2}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{45 \cdot - 3}{45 \cdot 2}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 3}{2}$

Schritt 1.1.1.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{3}{2}$

Schritt 1.1.1.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.1.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 90 - \frac{{(- 135)}^{2}}{4 \cdot 45}$

Schritt 1.1.1.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.1.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.5.2.1.1

Potenziere $- 135$ mit $2$ .

$e = 90 - \frac{18225}{4 \cdot 45}$

Schritt 1.1.1.5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $45$ .

$e = 90 - \frac{18225}{180}$

Schritt 1.1.1.5.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18225$ und $180$ .

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Schritt 1.1.1.5.2.1.3.1

Faktorisiere $45$ aus $18225$ heraus.

$e = 90 - \frac{45 (405)}{180}$

Schritt 1.1.1.5.2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.1.5.2.1.3.2.1

Faktorisiere $45$ aus $180$ heraus.

$e = 90 - \frac{45 \cdot 405}{45 \cdot 4}$

Schritt 1.1.1.5.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 90 - \frac{45 \cdot 405}{45 \cdot 4}$

Schritt 1.1.1.5.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 90 - \frac{405}{4}$

Schritt 1.1.1.5.2.2

Um $90$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$e = 90 \cdot \frac{4}{4} - \frac{405}{4}$

Schritt 1.1.1.5.2.3

Kombiniere $90$ und $\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{90 \cdot 4}{4} - \frac{405}{4}$

Schritt 1.1.1.5.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{90 \cdot 4 - 405}{4}$

Schritt 1.1.1.5.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.5.2.5.1

Mutltipliziere $90$ mit $4$ .

$e = \frac{360 - 405}{4}$

Schritt 1.1.1.5.2.5.2

Subtrahiere $405$ von $360$ .

$e = \frac{- 45}{4}$

Schritt 1.1.1.5.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - \frac{45}{4}$

Schritt 1.1.1.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $45 {(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{45}{4}$ ein.

$45 {(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{45}{4}$

Schritt 1.1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = 45 {(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{45}{4}$

Schritt 1.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 45$

$h = \frac{3}{2}$

$k = - \frac{45}{4}$

Schritt 1.3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 1.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(\frac{3}{2}, - \frac{45}{4})$

Schritt 1.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 1.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 1.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot 45}$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $4$ mit $45$ .

$\frac{1}{180}$

Schritt 1.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 1.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 1.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(\frac{3}{2}, - \frac{506}{45})$

Schritt 1.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 1.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 1.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 1.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = - \frac{1013}{90}$

Schritt 1.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(\frac{3}{2}, - \frac{45}{4})$

Brennpunkt: $(\frac{3}{2}, - \frac{506}{45})$

Symmetrieachse: $x = \frac{3}{2}$

Leitlinie: $y = - \frac{1013}{90}$

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(\frac{3}{2}, - \frac{45}{4})$

Brennpunkt: $(\frac{3}{2}, - \frac{506}{45})$

Symmetrieachse: $x = \frac{3}{2}$

Leitlinie: $y = - \frac{1013}{90}$

Schritt 2

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = (- 10 + 5 (1)) (- 9 + 9 (1))$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$f (1) = (- 10 + 5) (- 9 + 9 (1))$

Schritt 2.2.2

Addiere $- 10$ und $5$ .

$f (1) = - 5 (- 9 + 9 (1))$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$f (1) = - 5 (- 9 + 9)$

Schritt 2.2.4

Addiere $- 9$ und $9$ .

$f (1) = - 5 \cdot 0$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$f (1) = 0$

Schritt 2.2.6

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 2.3

Der $y$ -Wert bei $x = 1$ ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 2.4

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & - \frac{45}{4} \end{array}$

Schritt 3

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(\frac{3}{2}, - \frac{45}{4})$

Brennpunkt: $(\frac{3}{2}, - \frac{506}{45})$

Symmetrieachse: $x = \frac{3}{2}$

Leitlinie: $y = - \frac{1013}{90}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & - \frac{45}{4} \end{array}$

Schritt 4