Algebra Beispiele

$\log (7 x - 11) \leq 2$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$\log (7 x - 11) = 2$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.1

Schreibe $\log (7 x - 11) = 2$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$10^{2} = 7 x - 11$

Schritt 2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Schreibe die Gleichung als $7 x - 11 = 10^{2}$ um.

$7 x - 11 = 10^{2}$

Schritt 2.2.2

Potenziere $10$ mit $2$ .

$7 x - 11 = 100$

Schritt 2.2.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.3.1

Addiere $11$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$7 x = 100 + 11$

Schritt 2.2.3.2

Addiere $100$ und $11$ .

$7 x = 111$

Schritt 2.2.4

Teile jeden Ausdruck in $7 x = 111$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $7 x = 111$ durch $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{111}{7}$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 2.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 x}{7} = \frac{111}{7}$

Schritt 2.2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{111}{7}$

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $\log (7 x - 11) - 2$ .

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Schritt 3.1

Setze das Argument in $\log (7 x - 11)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$7 x - 11 > 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $11$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$7 x > 11$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $7 x > 11$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $7 x > 11$ durch $7$ .

$\frac{7 x}{7} > \frac{11}{7}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 x}{7} > \frac{11}{7}$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{11}{7}$

Schritt 3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(\frac{11}{7}, \infty)$

Schritt 4

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < \frac{11}{7}$

$\frac{11}{7} < x < \frac{111}{7}$

$x > \frac{111}{7}$

Schritt 5

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 5.1

Teste einen Wert im Intervall $x < \frac{11}{7}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < \frac{11}{7}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 5.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log (7 (0) - 11) \leq 2$

Schritt 5.1.3

Bestimme, ob die Ungleichung erfüllt ist.

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Schritt 5.1.3.1

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da sie nicht definiert ist.

$Undefiniert$

Schritt 5.1.3.2

Die linke Seite hat keine Lösung, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{11}{7} < x < \frac{111}{7}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{11}{7} < x < \frac{111}{7}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 5.2.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log (7 (4) - 11) \leq 2$

Schritt 5.2.3

Die linke Seite $1.23044892$ ist kleiner als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 5.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{111}{7}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{111}{7}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 18$

Schritt 5.3.2

Ersetze $x$ durch $18$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log (7 (18) - 11) \leq 2$

Schritt 5.3.3

Die linke Seite $2.06069784$ ist größer als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < \frac{11}{7}$ Falsch

$\frac{11}{7} < x < \frac{111}{7}$ Wahr

$x > \frac{111}{7}$ Falsch

$x < \frac{11}{7}$ Falsch

$\frac{11}{7} < x < \frac{111}{7}$ Wahr

$x > \frac{111}{7}$ Falsch

Schritt 6

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{11}{7} < x \leq \frac{111}{7}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$\frac{11}{7} < x \leq \frac{111}{7}$

Intervallschreibweise:

$(\frac{11}{7}, \frac{111}{7}]$

Schritt 8