Algebra Beispiele

$t^{3} - 1 = 0$

Schritt 1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$t^{3} = 1$

Schritt 2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$t^{3} - 1 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$t^{3} - 1^{3} = 0$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = t$ und $b = 1$ .

$(t - 1) (t^{2} + t \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 3.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$(t - 1) (t^{2} + t + 1^{2}) = 0$

Schritt 3.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(t - 1) (t^{2} + t + 1) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$t - 1 = 0$

$t^{2} + t + 1 = 0$

Schritt 5

Setze $t - 1$ gleich $0$ und löse nach $t$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Setze $t - 1$ gleich $0$ .

$t - 1 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$t = 1$

Schritt 6

Setze $t^{2} + t + 1$ gleich $0$ und löse nach $t$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Setze $t^{2} + t + 1$ gleich $0$ .

$t^{2} + t + 1 = 0$

Schritt 6.2

Löse $t^{2} + t + 1 = 0$ nach $t$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 1$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $t$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$t = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$t = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$t = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(t - 1) (t^{2} + t + 1) = 0$ wahr machen.

$t = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$