Algebra Beispiele

$2 y = {(x - 3)}^{2}$

Schritt 1

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 1.1

Isoliere $y$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = {(x - 3)}^{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = {(x - 3)}^{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{{(x - 3)}^{2}}{2}$

Schritt 1.1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{{(x - 3)}^{2}}{2}$

Schritt 1.1.1.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{{(x - 3)}^{2}}{2}$

Schritt 1.1.2

Stelle die Terme um.

$y = \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2}$

Schritt 1.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{2}$

$h = 3$

$k = 0$

Schritt 1.3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 1.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(3, 0)$

Schritt 1.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 1.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 1.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache.

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Schritt 1.5.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Schritt 1.5.3.2

Dividiere $4$ durch $2$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 1.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 1.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 1.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(3, \frac{1}{2})$

Schritt 1.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = 3$

Schritt 1.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 1.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 1.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = - \frac{1}{2}$

Schritt 1.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(3, 0)$

Brennpunkt: $(3, \frac{1}{2})$

Symmetrieachse: $x = 3$

Leitlinie: $y = - \frac{1}{2}$

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(3, 0)$

Brennpunkt: $(3, \frac{1}{2})$

Symmetrieachse: $x = 3$

Leitlinie: $y = - \frac{1}{2}$

Schritt 2

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \frac{{((1) - 3)}^{2}}{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1.1

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$f (1) = \frac{{(- 2)}^{2}}{2}$

Schritt 2.2.1.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f (1) = \frac{4}{2}$

Schritt 2.2.2

Dividiere $4$ durch $2$ .

$f (1) = 2$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 2.3

Der $y$ -Wert bei $x = 1$ ist $2$ .

$y = 2$

Schritt 2.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \frac{{((2) - 3)}^{2}}{2}$

Schritt 2.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1.1

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$f (2) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2}$

Schritt 2.5.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (2) = \frac{1}{2}$

Schritt 2.5.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 2.6

Der $y$ -Wert bei $x = 2$ ist $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

Schritt 2.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f (5) = \frac{{((5) - 3)}^{2}}{2}$

Schritt 2.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.1.1

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$f (5) = \frac{2^{2}}{2}$

Schritt 2.8.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (5) = \frac{4}{2}$

Schritt 2.8.2

Dividiere $4$ durch $2$ .

$f (5) = 2$

Schritt 2.8.3

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 2.9

Der $y$ -Wert bei $x = 5$ ist $2$ .

$y = 2$

Schritt 2.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f (4) = \frac{{((4) - 3)}^{2}}{2}$

Schritt 2.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.11.1.1

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$f (4) = \frac{1^{2}}{2}$

Schritt 2.11.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (4) = \frac{1}{2}$

Schritt 2.11.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 2.12

Der $y$ -Wert bei $x = 4$ ist $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

Schritt 2.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 2 \\ 2 & \frac{1}{2} \\ 3 & 0 \\ 4 & \frac{1}{2} \\ 5 & 2 \end{array}$

Schritt 3

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(3, 0)$

Brennpunkt: $(3, \frac{1}{2})$

Symmetrieachse: $x = 3$

Leitlinie: $y = - \frac{1}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 2 \\ 2 & \frac{1}{2} \\ 3 & 0 \\ 4 & \frac{1}{2} \\ 5 & 2 \end{array}$

Schritt 4