Algebra Beispiele

$4 x^{4} - 4 x^{2} - x^{2} + 1 = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $x^{2}$ von $- 4 x^{2}$ .

$4 x^{4} - 5 x^{2} + 1 = 0$

Schritt 2

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$4 u^{2} - 5 u + 1 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot 1 = 4$ und deren Summe gleich $b = - 5$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 u$ heraus.

$4 u^{2} - 5 u + 1 = 0$

Schritt 3.1.2

Schreibe $- 5$ um als $- 1$ plus $- 4$

$4 u^{2} + (- 1 - 4) u + 1 = 0$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 u^{2} - 1 u - 4 u + 1 = 0$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(4 u^{2} - 1 u) - 4 u + 1 = 0$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (4 u - 1) - (4 u - 1) = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u - 1) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 u - 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Schritt 5

Setze $4 u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Setze $4 u - 1$ gleich $0$ .

$4 u - 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse $4 u - 1 = 0$ nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 u = 1$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 u = 1$ durch $4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 u = 1$ durch $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{1}{4}$

Schritt 6

Setze $u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Setze $u - 1$ gleich $0$ .

$u - 1 = 0$

Schritt 6.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 1$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(4 u - 1) (u - 1) = 0$ wahr machen.

$u = \frac{1}{4}, 1$

Schritt 8

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

${(x^{2})}^{1} = 1$

Schritt 9

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Schritt 10

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Schritt 10.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{4}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Schritt 10.2.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Schritt 10.2.3

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 10.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Schritt 10.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 10.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 10.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Schritt 11

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = 1$

Schritt 12

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = 1$

Schritt 12.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 12.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 12.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 12.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 12.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 13

Die Lösung von $4 x^{4} - 5 x^{2} + 1 = 0$ ist $x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 1, - 1$ .

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 1, - 1$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 1, - 1$

Dezimalform:

$x = 0.5, - 0.5, 1, - 1$