Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{3 x + 2}{4 + x}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{3 x + 2}{4 + x}$ als Gleichung.

$y = \frac{3 x + 2}{4 + x}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{3 y + 2}{4 + y}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{3 y + 2}{4 + y} = x$ um.

$\frac{3 y + 2}{4 + y} = x$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$4 + y, 1$

Schritt 3.2.2

Entferne die Klammern.

$4 + y, 1$

Schritt 3.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$4 + y$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{3 y + 2}{4 + y} = x$ mit $4 + y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{3 y + 2}{4 + y} = x$ mit $4 + y$ .

$\frac{3 y + 2}{4 + y} (4 + y) = x (4 + y)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 + y$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y + 2}{4 + y} (4 + y) = x (4 + y)$

Schritt 3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 y + 2 = x (4 + y)$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y + 2 = x \cdot 4 + x y$

Schritt 3.3.3.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 y + 2 = 4 x + x y$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y + 2 - x y = 4 x$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y - x y = 4 x - 2$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $y$ aus $3 y - x y$ heraus.

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Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $y$ aus $3 y$ heraus.

$y \cdot 3 - x y = 4 x - 2$

Schritt 3.4.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- x y$ heraus.

$y \cdot 3 + y (- x) = 4 x - 2$

Schritt 3.4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 3 + y (- x)$ heraus.

$y (3 - x) = 4 x - 2$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $y (3 - x) = 4 x - 2$ durch $3 - x$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (3 - x) = 4 x - 2$ durch $3 - x$ .

$\frac{y (3 - x)}{3 - x} = \frac{4 x}{3 - x} + \frac{- 2}{3 - x}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 - x$ .

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Schritt 3.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (3 - x)}{3 - x} = \frac{4 x}{3 - x} + \frac{- 2}{3 - x}$

Schritt 3.4.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{4 x}{3 - x} + \frac{- 2}{3 - x}$

Schritt 3.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{4 x - 2}{3 - x}$

Schritt 3.4.4.3.2

Faktorisiere $2$ aus $4 x - 2$ heraus.

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Schritt 3.4.4.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$y = \frac{2 (2 x) - 2}{3 - x}$

Schritt 3.4.4.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y = \frac{2 (2 x) + 2 (- 1)}{3 - x}$

Schritt 3.4.4.3.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x) + 2 (- 1)$ heraus.

$y = \frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{3 x + 2}{4 + x}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{3 x + 2}{4 + x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 2}{4 + x}) = \frac{2 (2 (\frac{3 x + 2}{4 + x}) - 1)}{3 - (\frac{3 x + 2}{4 + x})}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{3 x + 2}{4 + x}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 2}{4 + x}) = \frac{2 (\frac{2 (3 x + 2)}{4 + x} - 1)}{3 - \frac{3 x + 2}{4 + x}}$

Schritt 5.2.3.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4 + x}{4 + x}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 2}{4 + x}) = \frac{2 (\frac{2 (3 x + 2)}{4 + x} - 1 \cdot \frac{4 + x}{4 + x})}{3 - \frac{3 x + 2}{4 + x}}$

Schritt 5.2.3.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4 + x}{4 + x}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 2}{4 + x}) = \frac{2 (\frac{2 (3 x + 2)}{4 + x} + \frac{- (4 + x)}{4 + x})}{3 - \frac{3 x + 2}{4 + x}}$

Schritt 5.2.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 2}{4 + x}) = \frac{2 (\frac{2 (3 x + 2) - (4 + x)}{4 + x})}{3 - \frac{3 x + 2}{4 + x}}$

Schritt 5.2.3.5

Stelle die Terme um.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 2}{4 + x}) = \frac{2 (\frac{2 (3 x + 2) - (4 + x)}{x + 4})}{3 - \frac{3 x + 2}{4 + x}}$

Schritt 5.2.3.6

Schreibe $\frac{2 (3 x + 2) - (4 + x)}{x + 4}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 2}{4 + x}) = \frac{2 (\frac{2 (3 x) + 2 \cdot 2 - (4 + x)}{x + 4})}{3 - \frac{3 x + 2}{4 + x}}$

Schritt 5.2.3.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 2}{4 + x}) = \frac{2 (\frac{6 x + 2 \cdot 2 - (4 + x)}{x + 4})}{3 - \frac{3 x + 2}{4 + x}}$

Schritt 5.2.3.6.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 2}{4 + x}) = \frac{2 (\frac{6 x + 4 - (4 + x)}{x + 4})}{3 - \frac{3 x + 2}{4 + x}}$

Schritt 5.2.3.6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 2}{4 + x}) = \frac{2 (\frac{6 x + 4 - 1 \cdot 4 - x}{x + 4})}{3 - \frac{3 x + 2}{4 + x}}$

Schritt 5.2.3.6.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 2}{4 + x}) = \frac{2 (\frac{6 x + 4 - 4 - x}{x + 4})}{3 - \frac{3 x + 2}{4 + x}}$

Schritt 5.2.3.6.6

Subtrahiere $x$ von $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 2}{4 + x}) = \frac{2 (\frac{5 x + 4 - 4}{x + 4})}{3 - \frac{3 x + 2}{4 + x}}$

Schritt 5.2.3.6.7

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 2}{4 + x}) = \frac{2 (\frac{5 x + 0}{x + 4})}{3 - \frac{3 x + 2}{4 + x}}$

Schritt 5.2.3.6.8

Addiere $5 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 2}{4 + x}) = \frac{2 (\frac{5 x}{x + 4})}{3 - \frac{3 x + 2}{4 + x}}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.4.1

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4 + x}{4 + x}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 2}{4 + x}) = \frac{2 (\frac{5 x}{x + 4})}{\frac{3 (4 + x)}{4 + x} - \frac{3 x + 2}{4 + x}}$

Schritt 5.2.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 2}{4 + x}) = \frac{2 (\frac{5 x}{x + 4})}{\frac{3 (4 + x) - (3 x + 2)}{4 + x}}$

Schritt 5.2.4.3

Stelle die Terme um.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 2}{4 + x}) = \frac{2 (\frac{5 x}{x + 4})}{\frac{3 (4 + x) - (3 x + 2)}{x + 4}}$

Schritt 5.2.4.4

Schreibe $\frac{3 (4 + x) - (3 x + 2)}{x + 4}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 2}{4 + x}) = \frac{2 (\frac{5 x}{x + 4})}{\frac{3 \cdot 4 + 3 x - (3 x + 2)}{x + 4}}$

Schritt 5.2.4.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 2}{4 + x}) = \frac{2 (\frac{5 x}{x + 4})}{\frac{12 + 3 x - (3 x + 2)}{x + 4}}$

Schritt 5.2.4.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 2}{4 + x}) = \frac{2 (\frac{5 x}{x + 4})}{\frac{12 + 3 x - (3 x) - 1 \cdot 2}{x + 4}}$

Schritt 5.2.4.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 2}{4 + x}) = \frac{2 (\frac{5 x}{x + 4})}{\frac{12 + 3 x - 3 x - 1 \cdot 2}{x + 4}}$

Schritt 5.2.4.4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 2}{4 + x}) = \frac{2 (\frac{5 x}{x + 4})}{\frac{12 + 3 x - 3 x - 2}{x + 4}}$

Schritt 5.2.4.4.6

Subtrahiere $2$ von $12$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 2}{4 + x}) = \frac{2 (\frac{5 x}{x + 4})}{\frac{3 x - 3 x + 10}{x + 4}}$

Schritt 5.2.4.4.7

Subtrahiere $3 x$ von $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 2}{4 + x}) = \frac{2 (\frac{5 x}{x + 4})}{\frac{0 + 10}{x + 4}}$

Schritt 5.2.4.4.8

Addiere $0$ und $10$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 2}{4 + x}) = \frac{2 (\frac{5 x}{x + 4})}{\frac{10}{x + 4}}$

Schritt 5.2.5

Kombiniere $2$ und $\frac{5 x}{x + 4}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 2}{4 + x}) = \frac{\frac{2 (5 x)}{x + 4}}{\frac{10}{x + 4}}$

Schritt 5.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 2}{4 + x}) = \frac{\frac{10 x}{x + 4}}{\frac{10}{x + 4}}$

Schritt 5.2.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 2}{4 + x}) = \frac{10 x}{x + 4} \cdot \frac{x + 4}{10}$

Schritt 5.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 5.2.8.1

Faktorisiere $10$ aus $10 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 2}{4 + x}) = \frac{10 (x)}{x + 4} \cdot \frac{x + 4}{10}$

Schritt 5.2.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 2}{4 + x}) = \frac{10 x}{x + 4} \cdot \frac{x + 4}{10}$

Schritt 5.2.8.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 2}{4 + x}) = \frac{x}{x + 4} \cdot (x + 4)$

Schritt 5.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 4$ .

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Schritt 5.2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 2}{4 + x}) = \frac{x}{x + 4} \cdot (x + 4)$

Schritt 5.2.9.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 2}{4 + x}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) = \frac{3 (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) + 2}{4 + \frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}}$

Schritt 5.3.3

Entferne die Klammern.

$f (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) = \frac{3 (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) + 2}{4 + \frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}}$

Schritt 5.3.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3 - x$ .

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Schritt 5.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 - x} + 2}{4 + \frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}}$ mit $\frac{3 - x}{3 - x}$ .

$f (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) = \frac{3 - x}{3 - x} \cdot \frac{3 (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) + 2}{4 + \frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}}$

Schritt 5.3.4.2

Kombinieren.

$f (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) = \frac{(3 - x) (3 (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) + 2)}{(3 - x) (4 + \frac{2 (2 x - 1)}{3 - x})}$

Schritt 5.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) = \frac{(3 - x) (3 (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x})) + (3 - x) \cdot 2}{(3 - x) \cdot 4 + (3 - x) (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x})}$

Schritt 5.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 - x$ .

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Schritt 5.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) = \frac{(3 - x) (3 (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x})) + (3 - x) \cdot 2}{(3 - x) \cdot 4 + (3 - x) (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x})}$

Schritt 5.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) = \frac{(3 - x) (3 (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x})) + (3 - x) \cdot 2}{(3 - x) \cdot 4 + 2 (2 x - 1)}$

Schritt 5.3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.7.1

Faktorisiere $3 - x$ aus $(3 - x) \cdot 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 - x} + (3 - x) \cdot 2$ heraus.

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Schritt 5.3.7.1.1

Faktorisiere $3 - x$ aus $(3 - x) \cdot 3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}$ heraus.

$f (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) = \frac{(3 - x) (3 (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x})) + (3 - x) \cdot 2}{(3 - x) \cdot 4 + 2 (2 x - 1)}$

Schritt 5.3.7.1.2

Faktorisiere $3 - x$ aus $(3 - x) \cdot 2$ heraus.

$f (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) = \frac{(3 - x) (3 (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x})) + (3 - x) (2)}{(3 - x) \cdot 4 + 2 (2 x - 1)}$

Schritt 5.3.7.1.3

Faktorisiere $3 - x$ aus $(3 - x) (3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) + (3 - x) (2)$ heraus.

$f (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) = \frac{(3 - x) (3 (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) + 2)}{(3 - x) \cdot 4 + 2 (2 x - 1)}$

Schritt 5.3.7.2

Multipliziere $3 \frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}$ .

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Schritt 5.3.7.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}$ .

$f (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) = \frac{(3 - x) (\frac{3 (2 (2 x - 1))}{3 - x} + 2)}{(3 - x) \cdot 4 + 2 (2 x - 1)}$

Schritt 5.3.7.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) = \frac{(3 - x) (\frac{6 (2 x - 1)}{3 - x} + 2)}{(3 - x) \cdot 4 + 2 (2 x - 1)}$

Schritt 5.3.7.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 - x}{3 - x}$ .

$f (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) = \frac{(3 - x) (\frac{6 (2 x - 1)}{3 - x} + \frac{2 (3 - x)}{3 - x})}{(3 - x) \cdot 4 + 2 (2 x - 1)}$

Schritt 5.3.7.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) = \frac{(3 - x) (\frac{6 (2 x - 1) + 2 (3 - x)}{3 - x})}{(3 - x) \cdot 4 + 2 (2 x - 1)}$

Schritt 5.3.7.5

Stelle die Terme um.

$f (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) = \frac{(3 - x) (\frac{6 (2 x - 1) + 2 (3 - x)}{- x + 3})}{(3 - x) \cdot 4 + 2 (2 x - 1)}$

Schritt 5.3.7.6

Schreibe $\frac{6 (2 x - 1) + 2 (3 - x)}{- x + 3}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.7.6.1

Faktorisiere $2$ aus $6 (2 x - 1) + 2 (3 - x)$ heraus.

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Schritt 5.3.7.6.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 (2 x - 1)$ heraus.

$f (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) = \frac{(3 - x) (\frac{2 (3 (2 x - 1)) + 2 (3 - x)}{- x + 3})}{(3 - x) \cdot 4 + 2 (2 x - 1)}$

Schritt 5.3.7.6.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 (2 x - 1)) + 2 (3 - x)$ heraus.

$f (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) = \frac{(3 - x) (\frac{2 (3 (2 x - 1) + 3 - x)}{- x + 3})}{(3 - x) \cdot 4 + 2 (2 x - 1)}$

Schritt 5.3.7.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) = \frac{(3 - x) (\frac{2 (3 (2 x) + 3 \cdot - 1 + 3 - x)}{- x + 3})}{(3 - x) \cdot 4 + 2 (2 x - 1)}$

Schritt 5.3.7.6.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) = \frac{(3 - x) (\frac{2 (6 x + 3 \cdot - 1 + 3 - x)}{- x + 3})}{(3 - x) \cdot 4 + 2 (2 x - 1)}$

Schritt 5.3.7.6.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) = \frac{(3 - x) (\frac{2 (6 x - 3 + 3 - x)}{- x + 3})}{(3 - x) \cdot 4 + 2 (2 x - 1)}$

Schritt 5.3.7.6.5

Subtrahiere $x$ von $6 x$ .

$f (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) = \frac{(3 - x) (\frac{2 (5 x - 3 + 3)}{- x + 3})}{(3 - x) \cdot 4 + 2 (2 x - 1)}$

Schritt 5.3.7.6.6

Addiere $- 3$ und $3$ .

$f (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) = \frac{(3 - x) (\frac{2 (5 x + 0)}{- x + 3})}{(3 - x) \cdot 4 + 2 (2 x - 1)}$

Schritt 5.3.7.6.7

Addiere $5 x$ und $0$ .

$f (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) = \frac{(3 - x) (\frac{2 \cdot (5 x)}{- x + 3})}{(3 - x) \cdot 4 + 2 (2 x - 1)}$

Schritt 5.3.7.6.8

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$f (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) = \frac{(3 - x) (\frac{10 x}{- x + 3})}{(3 - x) \cdot 4 + 2 (2 x - 1)}$

Schritt 5.3.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.8.1

Faktorisiere $2$ aus $(3 - x) \cdot 4 + 2 (2 x - 1)$ heraus.

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Schritt 5.3.8.1.1

Faktorisiere $2$ aus $(3 - x) \cdot 4$ heraus.

$f (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) = \frac{(3 - x) (\frac{10 x}{- x + 3})}{2 ((3 - x) \cdot 2) + 2 (2 x - 1)}$

Schritt 5.3.8.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 ((3 - x) \cdot 2) + 2 (2 x - 1)$ heraus.

$f (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) = \frac{(3 - x) (\frac{10 x}{- x + 3})}{2 ((3 - x) \cdot 2 + 2 x - 1)}$

Schritt 5.3.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) = \frac{(3 - x) (\frac{10 x}{- x + 3})}{2 (3 \cdot 2 - x \cdot 2 + 2 x - 1)}$

Schritt 5.3.8.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) = \frac{(3 - x) (\frac{10 x}{- x + 3})}{2 (6 - x \cdot 2 + 2 x - 1)}$

Schritt 5.3.8.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) = \frac{(3 - x) (\frac{10 x}{- x + 3})}{2 (6 - 2 x + 2 x - 1)}$

Schritt 5.3.8.5

Subtrahiere $1$ von $6$ .

$f (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) = \frac{(3 - x) (\frac{10 x}{- x + 3})}{2 (- 2 x + 2 x + 5)}$

Schritt 5.3.8.6

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$f (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) = \frac{(3 - x) (\frac{10 x}{- x + 3})}{2 (0 + 5)}$

Schritt 5.3.8.7

Addiere $0$ und $5$ .

$f (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) = \frac{(3 - x) (\frac{10 x}{- x + 3})}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.3.9

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.3.9.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$f (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) = \frac{(3 - x) (\frac{10 x}{- x + 3})}{10}$

Schritt 5.3.9.2

Faktorisiere $\frac{10 x}{- x + 3}$ aus $\frac{(3 - x) \frac{10 x}{- x + 3}}{10}$ heraus.

$f (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) = \frac{10 x}{- x + 3} \cdot \frac{3 - x}{10}$

Schritt 5.3.9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 5.3.9.3.1

Faktorisiere $10$ aus $10 x$ heraus.

$f (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) = \frac{10 (x)}{- x + 3} \cdot \frac{3 - x}{10}$

Schritt 5.3.9.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) = \frac{10 x}{- x + 3} \cdot \frac{3 - x}{10}$

Schritt 5.3.9.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) = \frac{x}{- x + 3} \cdot (3 - x)$

Schritt 5.3.9.4

Mutltipliziere $\frac{x}{- x + 3}$ mit $3 - x$ .

$f (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) = \frac{x (3 - x)}{- x + 3}$

Schritt 5.3.9.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 - x$ und $- x + 3$ .

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Schritt 5.3.9.5.1

Stelle die Terme um.

$f (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) = \frac{x (- x + 3)}{- x + 3}$

Schritt 5.3.9.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) = \frac{x (- x + 3)}{- x + 3}$

Schritt 5.3.9.5.3

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{3 x + 2}{4 + x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 (2 x - 1)}{3 - x}$