Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} + 4 x - 3}{x^{2} + 1} < x$

Schritt 1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{x^{2} + 4 x - 3}{x^{2} + 1} - x < 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{x^{2} + 4 x - 3}{x^{2} + 1} - x$ .

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Schritt 2.1

Um $- x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 3}{x^{2} + 1} - x \cdot \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} < 0$

Schritt 2.2

Kombiniere $- x$ und $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 3}{x^{2} + 1} + \frac{- x (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} < 0$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - x (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} < 0$

Schritt 2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - x \cdot x^{2} - x \cdot 1}{x^{2} + 1} < 0$

Schritt 2.4.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - (x^{2} x) - x \cdot 1}{x^{2} + 1} < 0$

Schritt 2.4.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 2.4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - (x^{2} x^{1}) - x \cdot 1}{x^{2} + 1} < 0$

Schritt 2.4.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - x^{2 + 1} - x \cdot 1}{x^{2} + 1} < 0$

Schritt 2.4.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - x^{3} - x \cdot 1}{x^{2} + 1} < 0$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - x^{3} - x}{x^{2} + 1} < 0$

Schritt 2.4.4

Subtrahiere $x$ von $4 x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 3 - x^{3}}{x^{2} + 1} < 0$

Schritt 2.4.5

Stelle die Terme um.

$\frac{- x^{3} + x^{2} + 3 x - 3}{x^{2} + 1} < 0$

Schritt 2.4.6

Schreibe $- x^{3} + x^{2} + 3 x - 3$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.4.6.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.4.6.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(- x^{3} + x^{2}) + 3 x - 3}{x^{2} + 1} < 0$

Schritt 2.4.6.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x^{2} (- x + 1) - 3 (- x + 1)}{x^{2} + 1} < 0$

Schritt 2.4.6.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + 1$ .

$\frac{(- x + 1) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{(- (x) + 1) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

Schritt 2.6

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{(- (x) - 1 (- 1)) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

Schritt 2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{- (x - 1) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

Schritt 2.8

Schreibe $- (x - 1)$ als $- 1 (x - 1)$ um.

$\frac{- 1 (x - 1) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

Schritt 2.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(x - 1) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x - 1 = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Schritt 4

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 5

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 3$

Schritt 6

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{3}$

Schritt 7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{3}$

Schritt 7.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{3}$

Schritt 7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 8

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 1$

Schritt 9

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 10

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i$

Schritt 11

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 11.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i$

Schritt 11.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i$

Schritt 11.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i, - i$

Schritt 12

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 1$

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = i, - i$

Schritt 13

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 1, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 14

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \sqrt{3}$

$- \sqrt{3} < x < 1$

$1 < x < \sqrt{3}$

$x > \sqrt{3}$

Schritt 15

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 15.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \sqrt{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 15.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \sqrt{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 15.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(- 4)}^{2} + 4 (- 4) - 3}{{(- 4)}^{2} + 1} < - 4$

Schritt 15.1.3

Die linke Seite $- 0.17647058$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $- 4$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 15.2

Teste einen Wert im Intervall $- \sqrt{3} < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 15.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \sqrt{3} < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 15.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(0)}^{2} + 4 (0) - 3}{{(0)}^{2} + 1} < 0$

Schritt 15.2.3

Die linke Seite $- 3$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 15.3

Teste einen Wert im Intervall $1 < x < \sqrt{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 15.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $1 < x < \sqrt{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1.37$

Schritt 15.3.2

Ersetze $x$ durch $1.37$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(1.37)}^{2} + 4 (1.37) - 3}{{(1.37)}^{2} + 1} < 1.37$

Schritt 15.3.3

Die linke Seite $1.51444262$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $1.37$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 15.4

Teste einen Wert im Intervall $x > \sqrt{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 15.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \sqrt{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 15.4.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(4)}^{2} + 4 (4) - 3}{{(4)}^{2} + 1} < 4$

Schritt 15.4.3

Die linke Seite $1.70588235$ ist kleiner als die rechte Seite $4$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 15.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \sqrt{3}$ Falsch

$- \sqrt{3} < x < 1$ Wahr

$1 < x < \sqrt{3}$ Falsch

$x > \sqrt{3}$ Wahr

$x < - \sqrt{3}$ Falsch

$- \sqrt{3} < x < 1$ Wahr

$1 < x < \sqrt{3}$ Falsch

$x > \sqrt{3}$ Wahr

Schritt 16

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- \sqrt{3} < x < 1$ oder $x > \sqrt{3}$

Schritt 17

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- \sqrt{3} < x < 1 or x > \sqrt{3}$

Intervallschreibweise:

$(- \sqrt{3}, 1) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

Schritt 18