Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} + 15 x + 50}{- x^{2} - 10 x} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 16}{x^{2} + 7 x + 10} \div \frac{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}{25 - x^{2}}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{x^{2} + 15 x + 50}{- x^{2} - 10 x} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 16}{x^{2} + 7 x + 10} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2} + 15 x + 50$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $50$ und deren Summe $15$ ist.

$5, 10$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{- x^{2} - 10 x} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 16}{x^{2} + 7 x + 10} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Schritt 3

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2} - 10 x$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{x (- x) - 10 x} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 16}{x^{2} + 7 x + 10} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $x$ aus $- 10 x$ heraus.

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{x (- x) + x \cdot - 10} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 16}{x^{2} + 7 x + 10} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- x) + x \cdot - 10$ heraus.

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 16}{x^{2} + 7 x + 10} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Schritt 4

Faktorisiere $x^{2} + 10 x + 16$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $16$ und deren Summe $10$ ist.

$2, 8$

Schritt 4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 8)}{x^{2} + 7 x + 10} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Schritt 5

Faktorisiere $x^{2} + 7 x + 10$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $10$ und deren Summe $7$ ist.

$2, 5$

Schritt 5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 8)}{(x + 2) (x + 5)} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 5$ .

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $x + 5$ aus $(x + 2) (x + 5)$ heraus.

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 8)}{(x + 5) (x + 2)} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Schritt 6.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 8)}{(x + 5) (x + 2)} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Schritt 6.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 10}{x (- x - 10)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 8)}{x + 2} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\frac{x + 10}{x (- x - 10)}$ mit $\frac{(x + 2) (x + 8)}{x + 2}$ .

$\frac{(x + 10) ((x + 2) (x + 8))}{x (- x - 10) (x + 2)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 10) ((x + 2) (x + 8))}{x (- x - 10) (x + 2)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Schritt 6.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x + 10) (x + 8)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x + 10$ und $- x - 10$ .

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$\frac{(- 1 (- x) + 10) (x + 8)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Schritt 6.4.2

Schreibe $10$ als $- 1 (- 10)$ um.

$\frac{(- 1 (- x) - 1 (- 10)) (x + 8)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Schritt 6.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- x) - 1 (- 10)$ heraus.

$\frac{- 1 (- x - 10) (x + 8)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Schritt 6.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (- x - 10) (x + 8)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Schritt 6.4.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 (x + 8)}{x} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Schritt 6.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{5^{2} - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Schritt 7.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 5$ und $b = x$ .

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Schritt 8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} + 13 x^{2} + 40 x$ heraus.

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Schritt 8.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x \cdot x^{2} + 13 x^{2} + 40 x}$

Schritt 8.1.2

Faktorisiere $x$ aus $13 x^{2}$ heraus.

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x \cdot x^{2} + x (13 x) + 40 x}$

Schritt 8.1.3

Faktorisiere $x$ aus $40 x$ heraus.

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x \cdot x^{2} + x (13 x) + x \cdot 40}$

Schritt 8.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x (13 x)$ heraus.

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x (x^{2} + 13 x) + x \cdot 40}$

Schritt 8.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{2} + 13 x) + x \cdot 40$ heraus.

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x (x^{2} + 13 x + 40)}$

Schritt 8.2

Faktorisiere $x^{2} + 13 x + 40$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 8.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $40$ und deren Summe $13$ ist.

$5, 8$

Schritt 8.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x ((x + 5) (x + 8))}$

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x (x + 5) (x + 8)}$

Schritt 9

Vereinfache Terme.

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 8$ .

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Schritt 9.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x + 8}{x}$ in den Zähler.

$\frac{- (x + 8)}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x (x + 5) (x + 8)}$

Schritt 9.1.2

Faktorisiere $x + 8$ aus $- (x + 8)$ heraus.

$\frac{(x + 8) \cdot - 1}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x (x + 5) (x + 8)}$

Schritt 9.1.3

Faktorisiere $x + 8$ aus $x (x + 5) (x + 8)$ heraus.

$\frac{(x + 8) \cdot - 1}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{(x + 8) (x (x + 5))}$

Schritt 9.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 8) \cdot - 1}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{(x + 8) (x (x + 5))}$

Schritt 9.1.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x (x + 5)}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $\frac{- 1}{x}$ mit $\frac{(5 + x) (5 - x)}{x (x + 5)}$ .

$\frac{- ((5 + x) (5 - x))}{x (x (x + 5))}$

Schritt 10

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- ((5 + x) (5 - x))}{x^{1} x (x + 5)}$

Schritt 11

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- ((5 + x) (5 - x))}{x^{1} x^{1} (x + 5)}$

Schritt 12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- ((5 + x) (5 - x))}{x^{1 + 1} (x + 5)}$

Schritt 13

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- ((5 + x) (5 - x))}{x^{2} (x + 5)}$

Schritt 14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5 + x$ und $x + 5$ .

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Schritt 14.1

Stelle die Terme um.

$\frac{- ((x + 5) (5 - x))}{x^{2} (x + 5)}$

Schritt 14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- ((x + 5) (5 - x))}{x^{2} (x + 5)}$

Schritt 14.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- (5 - x)}{x^{2}}$

Schritt 15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5 - x}{x^{2}}$