Algebra Beispiele

$A (t) = 300 t e^{- 2.5 t}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $300 x e^{- 2.5 x}$ nicht definiert ist.

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 2

Die vertikalen Asymptoten treten in Bereichen einer unendlichen Unstetigkeit auf.

Keine vertikalen Asymptoten

Schritt 3

Berechne $lim_{x \to \infty} 300 x e^{- 2.5 x}$ , um die horizontale Asymptote zu finden.

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Schritt 3.1

Ziehe den Term $300$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$300 lim_{x \to \infty} x e^{- 2.5 x}$

Schritt 3.2

Schreibe $x e^{- 2.5 x}$ als $\frac{x}{e^{2.5 x}}$ um.

$300 lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{2.5 x}}$

Schritt 3.3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$300 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{2.5 x}}$

Schritt 3.3.1.2

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$300 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{2.5 x}}$

Schritt 3.3.1.3

Da der Exponent $2.5 x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{2.5 x}$ $\infty$ an.

$300 \frac{\infty}{\infty}$

Schritt 3.3.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$300 \frac{\infty}{\infty}$

Schritt 3.3.2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{2.5 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{2.5 x}]}$

Schritt 3.3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$300 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{2.5 x}]}$

Schritt 3.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{2.5 x}]}$

Schritt 3.3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2.5 x$ .

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Schritt 3.3.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2.5 x$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2.5 x]}$

Schritt 3.3.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [2.5 x]}$

Schritt 3.3.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $2.5 x$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2.5 x} \frac{d}{d x} [2.5 x]}$

Schritt 3.3.3.4

Da $2.5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2.5 x$ nach $x$ gleich $2.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2.5 x} \cdot 2.5 \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2.5 x} \cdot 2.5 \cdot 1}$

Schritt 3.3.3.6

Mutltipliziere $2.5$ mit $1$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2.5 x} \cdot 2.5}$

Schritt 3.3.3.7

Bringe $2.5$ auf die linke Seite von $e^{2.5 x}$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2.5 e^{2.5 x}}$

Schritt 3.3.4

Schreibe $1$ als $1 (1)$ um.

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1 (1)}{2.5 e^{2.5 x}}$

Schritt 3.3.5

Faktorisiere $2.5$ aus $2.5 e^{2.5 x}$ heraus.

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1 (1)}{2.5 (e^{2.5 x})}$

Schritt 3.3.6

Separiere Brüche.

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2.5} \cdot \frac{1}{e^{2.5 x}}$

Schritt 3.3.7

Dividiere $1$ durch $2.5$ .

$300 lim_{x \to \infty} 0.4 \frac{1}{e^{2.5 x}}$

Schritt 3.3.8

Kombiniere $0.4$ und $\frac{1}{e^{2.5 x}}$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{0.4}{e^{2.5 x}}$

Schritt 3.4

Ziehe den Term $0.4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$300 \cdot 0.4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2.5 x}}$

Schritt 3.5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{e^{2.5 x}}$ $0$ .

$300 \cdot 0.4 \cdot 0$

Schritt 3.6

Multipliziere mit null.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $0.4$ mit $0$ .

$300 \cdot 0$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $300$ mit $0$ .

$0$

Schritt 4

Gib die horizontalen Asymptoten an:

$y = 0$

Schritt 5

Es gibt keine schiefe Asymptote, da der Grad des Zählers kleiner oder gleich dem Grad des Nenners ist.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Keine vertikalen Asymptoten

Horizontale Asymptoten: $y = 0$

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 7